从联系的观点看数学教学目标

摘 要：教学目标分析是教学设计的重要环节，具有承上启下的核心作用。从联系的观点看，教学目标分析不仅要依据知识关系与作用分析（通常以课标和教材为内容载体）、学情分析（可延伸至教情分析）等，而且要分析各个教学目标之间的联系，同时要指导教学重难点分析、教学方法选择、教学过程设计等。

关键词：数学教学；教学设计；教学目标；联系的观点

著名数学家希尔伯特认为，数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各部分之间的联系。分析教材中数学知识的关系与作用是数学教学设计的起始环节。［1］这时需要树立“一切从联系出发”的观点，即不仅要看到数学知识之间的联系，而且要看到数学知识与其他学科知识之间的联系，同时要看到数学知识与现实生活之间的联系。具体到数学知识之间的联系，不仅要知道教材各个章节之间的联系，而且要知道数学各个分支之间的联系；不仅要知道哪些知识之间有联系，而且要知道这些知识之间有什么联系。［2］

不仅如此，教学设计也是一个不可分割的有机整体。在其各个环节中，都要立足联系的观点，充分把握该环节与其他环节之间的联系。教学目标分析是教学设计的重要环节，具有承上启下的核心作用。从联系的观点看，教学目标分析不仅要依据知识关系与作用分析（通常以课标和教材为内容载体）、学情分析（可延伸至教情分析）等，而且要分析各个教学目标之间的联系，同时要指导教学重难点分析、教学方法选择、教学过程设计等。这样，不仅可以使教学目标既准确又具体，而且可以使教学活动始终围绕教学目标有序展开。

一、 基于课标、教材和学情确定教学目标

（一） 研读课标

分析教材中知识的关系与作用，首先要研读课标。［3］确定教学目标，既然要依据知识关系与作用分析，自然要依据课标分析。特别是，课标中不仅有宏观的课程目标，而且有类似于教学目标形式的具体的课程“内容要求”。依据课标确定教学目标，不是照搬“内容要求”，而要在吃透“内容要求”、课程目标，体现课程性质、课程理念的基础上，基于进一步的教材分析（充分的知识关系与作用分析）、学情分析等灵活设计教学目标。

比如，对于“向量应用与解三角形”这一内容（的教学），《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出如下要求：［4］

1. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。

2. 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。

3. 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。

因此，“余弦定理”这一课时的教学目标，不能满足于理解和掌握余弦定理，而要凸显课标倡导的“加强联系”和培养应用意识等理念，即不仅要让学生充分体会余弦定理与其他数学知识（如向量、勾股定理、三角形全等的判定定理等）之间、数学与其他学科（如物理学、天文学等）以及现实生活之间的联系，逐步渗透普遍联系的辩证唯物主义观点，而且要让学生进一步认识余弦定理在数学中的重要地位以及在其他学科与现实生活中的应用价值。

（二） 分析教材

分析教材中知识的关系与作用主要是通过仔细阅读教材，整体把握某个知识（教学内容）在教材中安排在哪里以及为什么安排在这里。为此，要弄清楚这个知识与哪些知识有联系、有什么联系以及这些知识之间有什么影响。这里的知识包括数学知识和其他学科知识、书本知识和生活经验、学过的知识和要学的知识，等等。［5］分析教学目标则主要是在由此得到的基于联系的“知识地图”中，找到一条能让学生展开探索从已知（旧知）走向未知（新知）的道路。［6］显然，确定教学目标，要依据教材分析。

比如，人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》第4节《平面向量的应用》中的“余弦定理”就与之前安排（学生学过）的三角形的基本要素（如边、角等）、全等三角形、勾股定理、任意角的三角函数、三角函数的恒等变换、向量等知识存在密切联系。比如：从三角形基本要素的角度看，余弦定理是在研究了三角形的三边关系、三角关系后对三角形的边角关系的进一步研究，它与三角形的三边关系、三角关系是并列关系；从三角形全等的角度看，余弦定理是对“边角边”等判定定理的量化与深化；从勾股定理的角度看，余弦定理是勾股定理从直角三角形向一般三角形的推广。因此，若着眼于余弦定理与三角形性质的关系，则可以设计“经历三角形边角关系的探究过程，深化对三角形的认识”“逐步养成用联系的观点看问题的意识”等教学目标；若着眼于余弦定理与勾股定理的关系，则可以设计“理解余弦定理及其与勾股定理的联系，深化对勾股定理的认识”“在探索余弦定理的过程中掌握从特殊到一般、数形结合以及转化化归的思想方法”等教学目标。

（三） 把握学情

教学目标的确定不仅受知识的关系与作用这一客观因素的制约，而且受学情这一主观因素的制约。许多教师常常直接根据教材和教参确定教学目标，而很少从学生的角度分析教学目标，因此，设计的教学目标往往很难真正符合学生实际，自然也很难在实际教学中有效实施。那么，怎样才能使教学目标的设计真正符合学生实际呢？苏联心理学家列夫·维果斯基的“最近发展区”理论为教学目标的分析指明了方向。维果斯基认为，教学应使学生从现有发展水平过渡到潜在发展水平——最近发展区。因此，教学目标应该在学生的“最近发展区”探索。

要做到这一点，首先，要准确把握学生的认知起点。只有这样，才能确定合理的可能发展区和最近发展区，为新知识的学习找到坚实的固着点。比如，对于“余弦定理”，若将“三角形全等”作为认知起点，那么可以设计“经历运用定量方法研究三角形边角关系的过程，深化对三角形全等判定定理的认识”等教学目标。

其次，要充分了解学生的认知特点。只有这样，才能真正落实“因材施教”原则，为学生量身定制最合适的教学目标，最大限度地促进学生的发展。比如，对于“余弦定理”，如果学生擅长采用从特殊到一般的方法学习，则可以从余弦定理与勾股定理的关系出发设计教学目标；如果学生擅长数学抽象和数学建模，则可以设计“经历从现实生活抽象出余弦定理的过程，逐步培养数学抽象和数学建模能力，体会余弦定理在现实生活中的应用价值”等教学目标。

此外，需要注意的是，教师往往会有意无意地根据自身的教情（如知识经验、心理特征、教学思想、教学风格等）分析（理解）教学目标。比如，青睐布卢姆教学思想的教师，可能更乐意按照布卢姆的“教育目标分类体系”分析教学目标，可能更关注知识技能目标或教学目标的层级；崇尚加涅教学思想的教师，可能更乐意采用加涅的“任务分析法”，按照“教学结果分类”分析教学目标，可能会采用教学课程图来表征教学目标；比较注重细节的教师，可能比较关注知识技能目标；比较注重思维能力培养的教师，可能更加关注过程方法目标甚至情感态度价值观目标……总之，无论教师自己是否意识到这一点，教学目标总会或多或少带有教师的烙印。因此，分析教学目标时，教师不仅应该充分关注知识关系与作用以及学情等因素的影响，还应该努力发挥自己的主观能动性，提升自身的积极因素带来的有利影响，克服自身的消极因素带来的不利影响。［7］

二、 分析各个教学目标之间的联系

虽然知识关系与作用分析可以为教学目标分析提供一个清晰的框架，但是，这一框架通常只是对所学知识相关知识的一个笼统描述，仍然包含很多知识点。其中，既有学生已经学过的知识，也有学生即将学习的知识，还有学生在下节课甚至更久的将来才会学到的知识。这些知识，有些可以作为本节课的教学目标，有些只能作为中期目标甚至长期目标；即使是本节课的教学目标，也会存在主次、先后及层次等方面的差异。

因此，分析教学目标时，应该认识到教学目标具有多元性和层次性，将教学目标理解为由众多目标组成的目标群，进而弄清楚本节课到底有哪些目标，这些目标之间有没有内在联系，这些目标中哪些是主要目标、哪些是附属目标，哪些是真正的目标、哪些只是实现目标的手段。可能的话，可以构建“教学课程图”［8］来直观反映教学目标之间的联系。

特别是，只有厘清核心的教学目标，才不至于在纷繁复杂的教学目标中迷失方向、遁入旁门。比如，对于“余弦定理”，虽然前文罗列了很多教学目标，但核心的教学目标应该是“掌握余弦定理并运用余弦定理解决数学和实际问题”，其他目标或者是这一目标的铺垫，或者是这一目标的延伸。如果认识不到这一点，教学中就会犯头重脚轻、本末倒置的错误。

三、 依据教学目标明确教学重难点、方法和过程

（一） 确定教学重难点

从联系的观点看，教学重点就是在知识结构中占据主要或主导地位并能反映知识主要联系的那些知识点。［9］前文已经指出，教学目标往往是由众多目标组成的目标群，而在这一目标群中，通常会有一个占据主要或主导地位的核心目标。只有抓住核心目标，才能抓住教学的“牛鼻子”。因此，在确定教学重点时，应将教学目标作为参照，思考将教学重点放在何处才能真正落实核心目标。比如，对于“余弦定理”，如果将“理解余弦定理及其与勾股定理的联系，深化对勾股定理的认识”作为教学目标，则应将教学重点放在如何将一般三角形边角关系的研究转化为直角三角形这一特殊三角形边角关系的研究上；如果将“经历从现实生活抽象出余弦定理的过程，逐步培养数学抽象和数学建模能力”作为教学目标，则应将教学重点放在如何从现实生活抽象出相应的数学问题进而运用各种数学方法建立余弦定理这一数学模型上。

从联系的观点看，教学难点就是那些难以发现联系或影响联系发现的知识点。具体来说，是指那些因太抽象、离学生生活太远、过程太复杂、关系太隐蔽而导致学生难于理解和掌握的知识、技能与方法。［10］从教学目标的角度看，教学难点就是那些难以达成的教学目标或影响教学目标达成的知识点。因此，在确定教学难点时，不仅可以将教学目标作为参照，而且可以将教学目标的达成度作为重要标准。比如，对于“余弦定理”，如果将“理解余弦定理及其与勾股定理的联系，深化对勾股定理的认识”作为教学目标，那么教学难点就是如何添加辅助线将一般三角形的边角关系转化为直角三角形这一特殊三角形的边角关系进行研究；如果将“借助向量的运算，探索三角形的边角关系”作为教学目标，那么教学难点就是如何由已知三角形的“边角边”联想到向量的数量积。

（二） 选择教学方法

如果把教学目标通俗地理解为关于“做什么”的问题，那么，教学方法就是关于“怎么做”的问题。因此，需要在明确教学目标的基础上，根据不同的教学目标，选择不同的教学方法。

比如，对于“余弦定理”，如果将“理解余弦定理及其与勾股定理的联系，深化对勾股定理的认识”作为教学目标，那么可以采用探究教学法，让学生运用转化、特殊化等数学思想探索一般三角形边角之间的关系；如果将“经历从现实生活抽象出余弦定理的过程，逐步培养数学抽象和数学建模能力”作为教学目标，那么可以采用问题解决教学法，让学生运用观察、抽象等方法建立余弦定理这一数学模型。

（三） 设计教学过程

关于教学过程，不同的学习理论有不同的分类方法。但是不论教学过程包含哪些环节和要素，从本质上说都是教学目标的实施过程，教学过程的每个环节和要素都要受制于教学目标，都要通过设标、对标、施标、查标等途径来促进教学目标的有效实施。之所以这么说，首先，教学目标中蕴含教学内容，教学目标以关键词的形式告诉学生要做什么；其次，教学目标中蕴含教学过程，课程标准明确提出了“过程与方法”这一维度的教学目标，事实上，教学目标如果仅有结果、没有过程，则将很难有效实施；此外，教学目标中还蕴含评价标准和评价方式，可以作为检验教学优劣的试金石。［11］

比如，对于“余弦定理”，如果教学目标是“借助向量的运算，探索三角形的边角关系”，那么在教学过程中，教师可以首先创设教学情境：“学习三角形全等的判定定理时，我们知道，如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。对于一个三角形而言，如果这个三角形的两边及其夹角确定，那么这个三角形就确定了。既然这个三角形确定了，那么有没有办法根据三角形的两边及其夹角求出这个三角形的其他量呢？”然后通过“由已知条件你能联想到哪些熟悉的数学知识？”“大家想到向量，那么从向量的角度看，已知条件可以怎么理解？”“从向量的角度看，前面的问题应该怎么叙述？”“在要求的量中哪个量最容易用已知向量来表示？”“如何表示？”“既然第三边对应的向量可以用已知的向量来表示，那么怎么才能求出第三边的长度？”等一系列启发性问题，引导学生循序渐进地达成教学目标。

参考文献：

［1］［2］［3］［5］［6］ 钟志华，周美玲.数学知识的关系与作用分析［J］.教育研究与评论，2023（9）：62，66，66，6667，69.

［4］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：26.

［7］ 张大均，余林.试论教学策略的基本涵义及其制定的依据［J］.课程·教材·教法，1996（9）：68.

［8］ R.M.加涅，W.W.韦杰，K.C.戈勒斯，等.教学设计原理（第五版）［M］.王小明，庞维国，陈保华，等译.上海：华东师范大学出版社，2007：146.

［9］ 钟志华，凌皓岚.从联系观点看教学重点的内涵、价值及确定依据［J］.中学数学杂志，2021（5）：15.

［10］ 钟志华，黄桂君.从联系观点看高中函数概念教学难点及成因［J］.数学通报，2022（6）：2529+48.

［11］ 赵国强.论教学目标的设计与表述［J］.当代教育科学，2010（6）：4243+45.