新定义型压轴题命制初探

摘 要：2024年高考数学新课标I卷的新定义型压轴题，从某种意义上说，是对自主命题省市多年来命题探索的一种肯定和借鉴。新定义型压轴题的核心是新定义。提炼新定义的方式主要有：“改造”中学数学知识结构中的相关概念（或方法）；将数学发展史或高等数学分支中的经典结论初等化。引入新定义的主要方式有生成、约束和关联。新定义型压轴题设问的基本原则是层层递进、逐步深入。因此，通常设置3个小题，分别“解释定义”“挖掘性质”“探究未知”。

关键词：数学高考；试题命制；新定义；压轴题；数列

一、引言：新定义型压轴题的内涵和意义

2024年高考数学新课标I卷在压轴题（第19题）中引入新定义，引导学生“多想少算”。此题引发广泛热议。所谓“新定义型”题，指在命题中定义新概念（对象）、新运算（规则）、新变换（关系）、新性质（方法）等，要求学生阅读理解新定义，分析解决新问题的一类题目。新定义型压轴题通常通过创设新颖的试题情境、条件内容和设问方式进行命题创新，强调思维的深刻性、灵活性和创造性。

这类试题具有很好的检测功能，具体地表现在四个方面：通过新定义，创设数学语境和话语体系；通过新情境，搭建试题框架，创设解题条件；通过新设问，设置思维梯度，逐步深入，准确区分不同层次的学生；通过解题过程，展现探究（思维）过程，实现对分析、推理、判断、论述等关键能力的考查。^［1］比如上述压轴题，就以等差数列为背景，以（i，j）-可分数列的新定义为中介，通过层层递进的设问考查学生的思维能力：

设m为正整数，数列a₁，a₂，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a_i和a_j（i＜j）后剩余的4m项可被平均分成m组，每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a₁，a₂，…，a_4m+2是（i，j）-可分数列。

（1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使得数列a₁，a₂，…，a₆是（i，j）-可分数列；

（2）当m≥3时，证明：数列a₁，a₂，…，a_4m+2是（2，13）-可分数列；

（3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a₁，a₂，…，a_4m+2是（i，j）-可分数列的概率为P_m，证明：P_m＞18。

新定义型题，一方面，鼓励学生从不同的角度认识问题，深入考查思维能力，具有良好的人才选拔功能；另一方面，创新情境、形式，着力于“反套路、反刷题”，能引导中学教学重视培养学生的思维能力。^［2］正因为此，除了全国范围的新课标卷之外，自主命题的北京卷和上海卷都不约而同地在压轴题中引入新定义。比如，2024年北京卷压轴题的新定义也跟数列有关：

设集合M={（i，j，s，t）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，s∈{5，6}，t∈{7，8}，i+j+s+t为偶数}。对于给定的有穷数列A：a₁，a₂，…，a₈和序列Ω：ω₁，ω₂，…，ω_m，其中ω_k=（i_k，j_k，s_k，t_k）∈M，k=1，2，…，m，定义变换T：将数列A的第i₁，j₁，s₁，t₁项均加1，其余项均不变，得到数列T₁（A）；将数列T₁（A）的第i₂，j₂，s₂，t₂项均加1，其余项均不变，得到数列T₂T₁（A）……重复上述操作，得到数列T_mT_m-1…T₂T₁（A），记为Ω（A）。

其实，新定义型压轴题并非新生事物，自主命题的北京卷从2006年开始就在压轴题中引入新定义，自主命题的上海卷和曾经自主命题的江苏卷也都有类似的命题风格。不同于北京卷压轴题和江苏卷压轴题基本上都是数列问题，上海卷压轴题则是数列和函数交替出场。2024年新课标I卷的新定义型压轴题，从某种意义上说，是对自主命题省市多年来命题探索的一种肯定和借鉴。

新定义型压轴题的核心是新定义，如何提炼和引入新定义？提炼和引入新定义后，如何通过层层递进的设问为学生搭建思维的平台？本文试图通过分析北京卷和上海卷中的数列新定义型压轴题，归纳新定义提炼和引入的方式；再以一道原创的数列新定义型压轴题为例，初探新定义型压轴题的设问方式。

二、新定义提炼和引入的方式

结合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》附录中的案例23（“距离问题”）和2024年高考数学新课标I卷第19题（以下简称“可分数列”问题）不难看出，新定义的提炼和引入具有鲜明的特征：

第一，基于数学课程的核心内容提炼新定义。例如，“可分数列”问题立足于高中数学核心知识（数列），在传统知识（等差数列）的基础上创新（新定义、新设问）。此外，考虑到数列内容在高中数学课程内容中的占比（以课时数计，约为6%）不足以支撑起这道压轴题在整个试卷中的占比（以分值计，约为11%），在命题设计中结合概率内容来考查：通过新情境搭建试题框架，实现等差数列和随机事件概率的有机结合。

第二，基于数学问题表述的准确性和简洁性需求引入新定义。新定义型压轴题重在考查学生的思维水平，过于繁杂的问题陈述会大大增加阅读的时间，相应地压缩思维的时间，不利于考查目标的实现。因此，使表达严谨明确、简洁明了，避免重复相同（或类似）的信息，是引入新定义的主要目的。显然，“可分数列”这个新定义的引入就符合准确、简洁的特征。需要指出的是，倘若题目表述并不由于信息重复而增加篇幅，那就没有必要引入新定义。对比2018年高考数学江苏卷和上海卷的压轴题在表述上的异同（直接叙述和引入新定义都可以表达条件“|b_n-a_n|≤1”），可以体会何时需要引入新定义：

（2018年高考数学江苏卷第20题）设{a_n}是首项为a₁、公差为d的等差数列，{b_n}是首项为b₁、公比为q的等比数列。

（1）设a₁=0，b₁=1，q=2，若|a_n-b_n|≤b₁对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；

（2）若a₁=b₁＞0，m∈N^*，q∈（1，m2］，证明“存在d∈R，使得|a_n-b_n|≤b₁对n=2，3，…，m+1均成立”，并求d的取值范围（用b₁，m，q表示）；

（2018年高考数学上海卷第21题）给定无穷数列{a_n}，若无穷数列{b_n}满足：对任意n∈N^*，都有|b_n-a_n|≤1，则称{b_n}与{a_n}“接近”。

（1）设{a_n}是首项为1、公比为12的等比数列，b_n=a_n+1+1，n∈N^*，判断数列{b_n}是否与{a_n}接近，并说明理由；

（2）设数列{a_n}的前四项a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=8，{b_n}是一个与{a_n}接近的数列，记集合M={x|x=b_i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；

（3）已知{a_n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b_n}满足：{b_n}与{a_n}接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…，b₂₀₁-b₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围。

我们系统梳理了近年高考数学北京卷和上海卷（含春考）的数列新定义型压轴题，包括北京卷2006—2019年理科第20题、2020—2024年第21题，上海卷2016年理科第23题、2017—2023年第21题（下文举例时不再标明题号），希望从中发现新定义提炼和引入的相关规律。需要说明的是，有些题目没有引入新概念或新符号，而是以文字介绍的形式引入新数列，它们正是上述“没有必要引入新定义”的新定义型压轴题，仍在我们的研究范围内。

（一）新定义提炼的方式

分析相关高考题，可以发现，常见的问题设计是，将等差（比）数列的递推关系、通项表示、求和方法等类比到新数列中；在看似“无序”的新数列中寻找某种“有序”的特征（如单调性、不变量、一一对应等）。相应地，提炼新定义的方式主要有两类：

一是“改造”中学数列知识结构中的相关概念（或方法）。根据等差（比）数列的概念，修改关系、运算等信息，可以“改造”出各种新数列。

比如，对等差数列，将定义中的关系“差相等”改为“差不等”，可以定义“增差数列”：

若对任意n∈N^*，都有a_n+1-a_n＜a_n+2-a_n+1，则称数列{a_n}是增差数列。

将定义中的运算“差”改为“差的绝对值”，可以定义“E数列”：

（2011年北京卷）若数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），则称A_n为E数列。

对“等差中项”概念加以“改造”，还可以引入下面的新数列：

（2021年上海春考卷）已知数列{a_n}满足a_n≥0（n∈N^*），对任意n≥2，项a_n和a_n+1中存在一项为另一项与a_n-1的等差中项。

（2022年上海卷）在无穷数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，对任意正整数n（n≥2），都存在正整数i（1≤i≤n-1），使得a_n+1=2a_n-a_i。