基于视力表研制的“数学建模”及其开展建议

摘  要：视力表的研制是一个数学学建模的过程：视力可以用眼睛（能够看清）的最小视角来衡量；视角与视标大小成正比，与观察距离成反比；不宜直接用最小视角的数值记录视力，而应建立最小视角的某种递减函数，用得到的数值记录视力；从分数制函数模型、小数制函数模型到对数制函数模型，视力记录越来越科学、合理。这一数学建模过程有着丰富的教育价值：体现对现实的关切，涉及众多数学知识，蕴含多种核心素养。组织学生开展相关数学建模活动要注意：制定研究计划，组织分工合作，引导研究思路，同时做好分水平层次的评价。

关键词：数学建模；视力表研制；跨学科学习;高中数学

*感谢南京师范大学附属中学参与相关数学建模活动的同学对本文的贡献。

体检或选配眼镜时，往往需要检测视力。检测视力时，通常需要交替捂住一只眼睛，用另一只眼睛辨识视力表中不同行列视标“E”的开口方向。一次检测视力时，笔者（第一作者）无意间发现这张图表上印有“标准对数视力表”字样。既然这样叫，难道视力检测和高中所学的对数有关系吗？如果有关系，为什么视力检测和对数有关系呢？此后，相关的问题一直萦绕在心头。于是，通过查阅资料、学习交流，一探究竟。［1］在此基础上，结合当下数学课改的相关理念［2］思考，我们认为，视力表的研制是一个非常精彩的数学建模过程，可以组织学生开展数学建模活动。

一、 数学建模过程

鉴于各种视力表的研制跨越多个领域，不同国家的视力表差异明显，以下交代必要的知识背景后，删繁就简，重点从数学的角度探讨建模的过程。

毫无疑问，视力好坏对个人生存与社会发展极其重要，人们总希望有一个简明好用的工具对之进行区分。视力检测用于衡量视觉的敏锐程度，是一个复杂的生理和心理过程。要想搞清楚视力的量化方法和作为检测工具的视力表的原理，首先要了解眼睛的工作原理。眼球的光学结构包括角膜和晶状体等，它们负责将光线聚焦在视网膜上，从而形成清晰的图像。人们观察实物时，光线受到角膜及晶状体的折射，会在晶状体的后方相交，从而在视网膜上产生倒立的影像。

（一） 衡量视力时的数学建模

检测视力时，首先要选择一个东西作为注视的目标，即视标——在视力表中，视标通常设计为一种图形（包括符号），常见的有C形（又叫Landolt环）、E形、阿拉伯数字、汉字、英文字母或其他特殊图形等。人们都有体会，用眼睛观察时，视标越大或距离越小，看得越清楚；视标越小或距离越大，看得越模糊。究其原因，与视标的两端（将视标抽象成线段）对眼节点（眼球屈光系统的光心）的张角，即视角有关：视角越大，所产生的影像就越大；视角越小，所产生的影像就越小。因此，视力可以用眼睛（能够看清）的最小视角来衡量：它越小，表明看物越轻松，视力越好；它越大，表明看物越费力，视力越差。不同人的最小视角是不一样的。科学家在长期的研究过程中发现，1分的最小视角可以作为人类公认的正常视力。

以我国的视力表常用的E形视标（如图1所示，其每一笔画和空隙均等长）为例说明：视角与视标大小成正比，与观察距离成反比。如图2所示，把视标“E”某一笔画的两边抽象成两点A、B（即把这一笔画抽象成线段AB），把眼节点抽象为点N，则观察这一笔画的视角为∠ANB。设AB=x毫米（可知整个视标的边长为5x毫米），N到AB的距离（即观察距离）为d米，∠ANB=α分——这里的单位都是根据相应的量通常的大小选取的。因为AB通常远小于N到AB的距离，所以可以近似地把AB看作弧长，把N到AB的距离看作相应的半径，则∠ANB就是相应的圆心角。根据角度与弧长、半径的关系以及单位的换算，可得α=60×180x1000πd（记为公式*）≈3.43775xd（取π=3.14159）。

根据视角与视标大小、观察距离的关系，在设计视力表时，可以确定观察距离，即设定（标准）检测距离；变动视标大小，即设计一批不同大小的视标。

（二） 记录视力时的数学建模

设定检测距离后，不同大小的视标对应不同的视角，可以衡量不同的视力。这时，还需要考虑如何记录视力。直接用最小视角的数值记录视力，首先会遇到它们之间成递减关系的问题，不方便日常使用。此外，还会涉及选取的视角及其对应的视标大小的一套离散数值，是否大小适中、分布均匀、变化有规律以及能否较为精准地区分不同视力、较为方便地比较不同视力等问题。因此，可以考虑建立最小视角的某种递减函数，用得到的数值记录视力。

国际上，除了视角制，常见的视力记录方法有分数制、小数制和对数制，它们对应着不同的函数模型。

1. 分数制函数模型V=dD

1862年，在巴黎举行的第2届国际眼科大会上，Snellen首创了分数制视力表。这种视力表用拉丁字母及阿拉伯数字做视标，设

定6米等为检测距离，采用分数制记录视力，如6/60、6/36、6/24、6/18、6/12、6/9、6/6等（特殊的低下视力一般用文字来表达）。分数制视力公式是V=dD，其中分子d表示检测距离（6米等），分母D表示正常人（最小视角为1分）能够看清该视标的最远距离（即设计距离）。此种方法常见于英美国家，关键是设定检测距离d（6米等）后，根据不同大小的视标对应的视角α（单位：分）算出设计距离D（单位：米）

。具体原理如下：设视标“E”每一笔画的宽度为x（单位：毫米），由公式*，得x=1000πdα60×180=1000πD×160×180，故D=αd。

为了比较，分别取随后的标准对数视力表中的各个视角，分别设定检测距离为6米、5米和40厘米，根据公式D=αd，在Excel中算出对应的设计距离，得到对应的分数制视力，如表1所示。化为小数（取近似值）后可以发现，与标准对数视力表中对应标注的小数制视力一致。

2. 小数制函数模型V=1α

1875年，Monoyer提出，用最小视角的倒数来表达视力，即V=1α（α的单位：分）。1909年，第11届国际眼科大会通过了根据这一原理制作的国际标准小数视力表。这种视力表设定5米为检测距离，采用小数制记录视力：为了像米尺或杆秤那样刻度均匀、使用方便，可以用等差数列0.1、0.2、0.3……1.9、2.0中的某个数来记录视力［特殊的低下视力，如数指/50厘米（在50厘米处能数清手指数目）、手动、光感、无光感，分别用0.01、0.001、1∞、0来表示］。此种方法常见于日本、德国和俄罗斯，关键是设定检测距离d（5米）后，根据不同视力对应的视角α（单位：分），算出视标边长5x（单位：毫米），设计相应的视标。具体地，由公式*，得5x=5000πdα60×180≈1.45444dα，从而计算得到表2（其中，视标增率为前后两个视标边长的比值）。

小数制视力表符合日常生活经验及小数使用习惯，看起来也比较直观明朗。但是，小数制视力表也有明显的缺点：当视力为等差数列时，视角为调和数列，反之亦然；小数制视力对应的视角大多数比较小，且变化不均匀，计算也比较麻烦；视标的增率大小不等，反映到视力表上，给人杂乱无章之感；临床上，小数制视力作为评价、防治和研究工作指标时，不能直接以二者之差来表示或比较处理前后的视力变化（例如，某人视力自0.1增加至0.6，而另一人自1.0增加至1.5，虽然增加量都是0.5，但是实际意义不同），也不能通过求和来计算平均数（原因在于小数制视力没有反映出视力的客观规律，即虽然人类经验感受到视力与最小视角成递减关系，但是二者并非反比例关系）；特别值得诟病的是，不符合心理物理学中相当重要而基本的Weber-Fechner定律……

3. 对数制函数模型V=5-lgα

实际上，由分数制的原理D=αd，可以得到dD=1α，因此，分数制和小数制本质上是一样的，所以，小数制存在的问题分数制也不能置身事外。于是，人们在实践中不断摸索和改进，期待发明一种更加科学的方法来记录视力。以满足Weber-Fechner定律为突破口来说，该定律讲的是当感觉器官受到的刺激强度加大时感觉强度也会加大（感觉强度与刺激强度的对数成正比）的生理现象。Weber和Fechner等人研究发现，感觉强度增量ΔE与刺激强度增量ΔR成正比，与原来的刺激强度R成反比，即ΔE=kΔRR，对之积分就有E=klgR+C（其中k、C为常数）。［34］

1956年，我国温州医科大学眼科学家缪天荣（1914—2005）研究指出，如果将感觉E理解为视力、刺激R理解为视角，那么，视力记录V与最小视角α的对数成正比例，因此，可以定义V=lgα。但是，这样定义不符合日常经验中最小视角和视力的递减关系。缪天荣等思考后认为，可以取最小视角对数的相反数（即最小视角倒数的对数）作为视力记录，即定义V=-lgα。但是，这样处理后，当最小视角大于1分时，视力记录为负数，不容易为社会大众接受和使用。缪天荣等又考虑到人类视力有5个大的等级，以及国际上以1分的最小视角为正常视力标准，此时的对数视力记录为0，所以将最小视角对数的相反数加上5处理，即定义V=5-lgα。

如此，研制视力表时，需要选择一批便于对数计算的视角，算出相应的视力；进而，基于设定的检测距离，算出相应的视标边长，设计相应的视标。考虑到正项等比数列取对数后成等差数列（有均匀刻度），可以取101.0、100.9、100.8……10-0.2、10-0.3（单位：分）为制作视力表的视角，从而得到4.0、4.1、4.2……5.2、5.3的视力记录；设定5米为检测距离（标准对数视力表分为远视力表和近视力表，它们的原理是一样的；远视力表更为常用，以5米为检测距离，而近视力表以25厘米为检测距离），进一步计算，得到相应的视标边长、视标增率以

及对应的小数制视力（为兼顾国际上使用小数制视力表的习惯，我国将对数制视力和小数制视力对应标注；分数制视力因为很少使用，所以不再标注），如下页表3所示。这样设计使用了以对数函数模型为核心的五分记录法，并规定了（标准）检测距离，所以，得到的视力表被命名为“标准对数视力表”。［5］

从表3中可以发现：虽然视角数据没有明显的规律，但是视角对数成等差数列；虽然视标边长数据没有明显的规律，但是视标增

率为常数（即公比1010≈1.2589）。这不仅给人一种规律性美感，而且方便视力记录和用于统计；特别是，满足了Weber-Fechner定律……由此可见，对数制视力表克服了包括小数制视力表在内的众多视力表的很多缺点并有明显的操作优势。因此，国家于1989年颁布了由缪天荣等起草的《中华人民共和

国国家标准：标准对数视力表（GB 11533—89）》并强制施行，于2011年颁布了由王勤美等修订的《中华人民共和国国家标准：标准对数视力表（GB 11533—2011）》（以下简称《对数视力表（GB 11533—2011）》）并推荐实施……

二、 教育价值分析

（一） 对现实的关切

辩证唯物主义认为，数学来源于现实又回归于现实，实践是检验真理的唯一最终标准。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）指出，教学情境包括现实情境、数学情境和科学情境三类。［6］从现实关切来看，视力表来源于日常生活，司空见惯的视力检测场景对学生来说相当熟悉。各种视力表研制中一些问题的解决，涉及纯粹数学知识的应用等。当然，也体现跨学科融合的理念，如眼科学和医疗保健以及物理学中的凸透镜成像原理、心理物理学中的Weber-Fechner定律等。因此，上述现实关切紧密呼应课标理念，容易激发学习兴趣，体现学科跨越交叉。

（二） 牵涉的知识

视力表研制的数学建模涉及相反数（正数和负数记录视力）、数列（等差数列和等比数列记录视角和视力）、近似数、对称（可以利用镜面反射检测视力）、相似（尝试利用相似制作视力表）、解三角形（视网膜成像）、弧度制、算术与几何及调和平均、反比例函数、指数函数和对数函数、单调性、微积分乃至统计计算和数学审美等数学知识或话题。其中，最为重要的是对数和微积分：反比例函数与对数函数之间具有微分和积分的关系。绘制出函数V=1α和V=5-lgα的图像后，通过对比不难体会：小数制视力是调和的，因此不具备线性规律，变化不均匀；取对数后，就具备线性规律了，变化也就均匀了。由此可见，本案例涉及众多数学知识，是需要调用所学知识来解决的非常规的、有意义的数学问题。