让探索过程更自然，将推理论证做到底

摘  要：苏科版初中数学教材《探索三角形相似的条件》第一课时的教学，可以在学生发现推理论证判定两个三角形相似的条件很困难时，引导学生由已知到未知，联想学过的哪些知识中蕴藏着两个三角形相似的结论，想到三角形中位线定理，进而从特殊到一般，发现平行线导致角相等，猜想平行线也导致边成比例；然后，引导学生从平行线分一条线到平行线分两条线，在画图验证（要借助长度测量）的背景下展开推理论证（可基于有理数比值），在得到“平行线分线段成比例”结论的同时培养推理论证能力。

关键词：初中数学；三角形相似；平行线分线段；特殊与一般；证明

一、 教前思考

学习苏科版初中数学八年级上册第1章第3节《探索三角形全等的条件》时，学生基于两个三角形全等的定义（形状、大小相同，即对应边相等、对应角相等），先采用“递增条件法”，分别列举出两个三角形的1对、2对和3对边或角相等的所有可能，再根据条件画出两个（或更多）三角形，验证它们是否全等，从而得到判定两个三角形全等的基本事实。

学习苏科版初中数学九年级下册第6章第4节《探索三角形相似的条件》时，学生基于两个三角形相似的定义（形状相同，即对应角相等、对应边成比例），自然可以类比运用同样的探索策略，得到判定两个三角形相似的基本事实；甚至可以直接类比判定两个三角形全等的基本事实，猜想判定两个三角形相似的基本事实，然后画图验证。

但是，对于两个三角形全等，画图时，可利用尺规作图得到角相等和边相等，比较精确；验证时，可通过“能否重合”判断“是否全等”，比较方便、直观。对于两个三角形相似，画图时，要借助长度测量得到边成比例，不够精确；验证时，要通过“角是否相等、边是否成比例”判断“是否相似”，比较麻烦、抽象。因此，探索三角形全等条件的策略并不很适用于探索三角形相似的条件。

此外，更为重要的是，初中数学课程中的“图形与几何”内容采用（推理）论证为主、实验（验证）为辅的方式形成体系［1］：借鉴《几何原本》的公理化系统，设置了一些只需通过实验验证得到的基本事实（公理）和更多需要通过推理论证得到的定理（推论）。公理化系统要求“显然正确”的公理尽可能地少，以最大限度地发挥推理论证的作用，得到确定无疑的定理。这给内容学习带来了较大的难度，也使内容学习能够很好地培养学生的推理论证能力。

《几何原本》中，判定两个三角形全等的条件和判定两个三角形相似的条件都是定理。为了平衡兼顾内容学习难度的控制和推理论证能力的培养，现行课程标准将判定两个三角形全等的条件设计为基本事实，而将判定两个三角形相似的条件仍设计为定理。因此，苏科版教材引导学生采用上述画图验证的探索策略，得到判定两个三角形全等的基本事实；而采用基于类比猜想进行推理论证的探索策略，得到判定两个三角形相似的定理。

为了让学生能推理论证判定两个三角形相似的条件，苏科版教材先引导学生采用画图验证（要借助长度测量）的探索策略，得到“平行线分线段成比例”的基本事实；进而通过推理论证，得到“平行线截三角形得相似”的定理。这便是《探索三角形相似的条件》第一课时的教学内容，它能为探索三角形相似的条件做铺垫：两个三角形相似意味着对应角相等、对应边成比例，学生学过“平行线截得角（同位角、内错角）相等”，若再学“平行线分线段成比例”，便有可能利用平行线证明两个三角形相似。

对此，从“强化推理论证”和“为探索三角形相似的条件做铺垫”两个角度看，苏科版教材的编写有两点不足：（1） 直接让学生画出“平行线分线段”的图形，与学生的已有知识和最终目标（探索三角形相似的条件）缺少联系，显得不够自然；（2） 让学生度量线段长度、计算长度比值，得到“成比例”的结论，单一采用实验验证的方法，没有渗透推理论证的方法，显得数学味不浓、说服力不足。

因此，这一课时的教学，可以在学生类比猜想判定两个三角形相似的条件后，发现推理论证的困难时，引导学生由已知到未知，联想学过的哪些知识（图形）中蕴藏着两个三角形相似的结论，想到三角形中位线定理（图形），进而从特殊到一般，发现平行线导致角相等，猜想平行线也导致边成比例；然后，引导学生从平行线分一条线到平行线分两条线，在画图验证（要借助长度测量）的背景下展开推理论证（可基于有理数比值），在得到“平行线分线段成比例”结论的同时培养推理论证能力。

二、 教学过程

（一） 联想三角形中位线定理，让探索过程更自然

师  在前一节的学习中，我们知道了相似三角形的对应角相等、对应边成比例，能运用这一定义判定两个三角形相似。显然，和判定两个三角形全等一样，利用定义判定两个三角形相似也非常麻烦，因此，也需要探索判定两个三角形相似的最少条件。类比判定两个三角形全等的条件（“边角边”“角边角”“角角边”和“边边边”），你觉得判定两个三角形相似的条件有哪些？

（学生考虑到1对边没法成比例，猜想“2对角相等”“1对角相等、2对边成比例”和“3对边成比例”。）

师  之前，我们是通过画图验证得到判定两个三角形全等的条件的，因为我们把它们当作基本事实。但是，数学知识体系中不能有太多的基本事实，更多的结论需要我们推理论证。那么，你能证明刚刚猜想的判定两个三角形相似的条件吗？

（学生尝试，发现这很困难。）

师  数学知识之间充满了联系，我们可以利用转化的策略，从已有的知识出发，探索新知识。请你联想一下：我们学过的哪些知识（图形）中蕴藏着两个三角形相似的结论。（稍停）聚焦我们学过的关于三角形的知识，画画图。

（学生思考、画图。）

生  （兴奋）三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似。

师  很好！你能证明吗？

生  （出示图1）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，可得DE∥BC且DE=12BC。因此，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，ADAB=AEAC=DEBC=12。显然，∠A=∠A。根据相似三角形的定义，可得△ADE∽△ABC。

图1

师  很好！显然，这是一种很特殊的情况，尤其是，两个相似的三角形对应边的比值为12。如果把它稍微一般化，即改变对应边的比值，你觉得哪个条件不能变？或者说，哪个条件最重要？为什么？

生  我认为，最重要的条件是平行，因为它导致对应角相等，应该也能导致对应边成比例。

师  也就是说，（出示图2）你认为，将点D、E一般化，即让点D、E分别在边AB、AC上（不一定是中点）后，只要有DE∥BC，就还有△ADE∽△ABC，因为还有“对应角相等、对应边成比例”，对吗？

图2

生  是的。

师  很好！我们知道，由平行能得出角（同位角、内错角）相等。那么，由平行能得出边成比例吗？（稍停）你能证明吗？

（学生尝试，发现这有难度。）

［说明：学习三角形相似的定义后，自然要探索三角形相似的最少条件。对此，学生类比三角形全等的条件，不难作出猜想，进而，便会发现推理论证的困难。这时，教师引导学生想到学过的三角形中位线定理（图形），发现其中蕴藏两个三角形相似的结论，这凸显了新旧知识的联系；并在证明中位线截得的三角形与原三角形相似的过程中，发现最重要的条件是平行，这凸显了特殊与一般的关系。由此，便可基于学生已知的平行导致角相等，聚焦学生未知的平行导致边成比例，从而在探索三角形相似条件的背景下，自然地转向探索“平行线分线段成比例”。］

（二） 探索“平行线分线段成比例”，将推理论证做到底

师  这个结论的证明确实有难度，让我们先验证一下吧！为了得到更一般的结论，我们需要研究“平行线分线段成比例”的问题。对此，可以先简单化，研究三条平行线分一条相交直线得到的两个线段的比值。你觉得这个比值与什么有关？或者说，这个比值是由什么决定的？为什么？

生  应该是由平行线之间的距离决定的，因为平行线之间的距离确定了，平行线之间的位置关系就完全确定了。

师  很棒的直觉！现在，请大家任意画三条互相平行的直线和一条与它们相交的直线。度量平行线之间的距离和分得的两个线段的长度，计算比值，你发现了什么？能证明吗？

（学生活动。教师巡视，选取典型案例汇报交流。）

生  （出示图3）我画的平行线之间的距离相等，我发现分得的两个线段也相等。在这种情况下，可以构造两个全等的直角三角形来证明。

图3

生  （出示图4）我画的平行线之间的距离之比为1∶2，我发现分得的两个线段之比也为1∶2。在这种情况下，可以增加一条平行线，使得四条平行线之间的距离相等，从而构造三个全等的直角三角形来证明。

图4

生  （出示图5）我画的平行线之间的距离之比为2∶3，我发现分得的两个线段之比也为2∶3。在这种情况下，可以增加三条平行线，使得六条平行线之间的距离相等，从而构造五个全等的直角三角形来证明。

图5

师  为了验证，我们需要测量具体长度，进而需要画出具体图形。而特殊情况下，我们发现：证明也没有那么难了！当然，特殊情况下的证明，不能代替一般情况下的证明。现在，让我们从特殊到一般，试着证明一般情况下的结论。

生  设平行线之间的距离之比为m∶n（m、n皆为正整数）。这时，可以增加m+n-2（即m-1和n-1）条平行线，使得m+n+1条平行线之间的距离相等，从而构造m+n个全等的直角三角形，来证明分得的两个线段之比也为m∶n。

师  很好！需要注意的是，这里的m∶n只能代表有理数，不能代表无理数。当然，在长度测量的背景下，这样的一般化是很自然的：测量结果只会是有理数，不会是无理数。实际上，无理数是非常深刻、前沿的数学理论。在中学阶段，我们不可能真正搞懂无理数，很多有关无理数的结论（如运算法则、运算律）都是无法证明的。通常，无理数可以表示为有理数列的极限。在这里，我们只要知道，证明了比值为有理数的一般情况下的结论，也就算证明了比值为无理数的一般情况下的结论。（稍停）现在，可以再复杂化，研究三条平行线分两条相交直线得到的四个线段的比例关系。你觉得有什么比例关系？还需要画图验证吗？你能够证明吗？

生  两条相交直线上分得的两个线段之比相等，也就是对应线段成比例。不需要画图验证了。设平行线之间的距离之比为m∶n（m、n皆为正整数），则其分每条相交直线得到的两个线段之比都为m∶n，故其分两条相交直线得到的两个线段之比相等。

师  这就是我们今天要学习的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。教材只是让我们画图验证它，但是我们基本上证明了它。同学们的表现很棒！（出示图2）现在，可以回到之前的问题：由平行能得出边成比例吗？

生  由DE∥BC，根据“平行线分线段成比例”，可得ADAB=AEAC。

师  还需要等于DEBC，怎么办呢？

生  再作平行线。

师  DE、BC不在一条直线上怎么办呢？

生  还是用平行线来平移。过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据“平行线分线段成比例”，可得ADAB=FCBC；根据平行四边形的判定和性质，可得FC=DE。所以，ADAB=DEBC。

［说明：探索“平行线分线段成比例”是本节课的核心任务。基于《探索三角形相似的条件》这一节的教学导向，探索“平行线分线段成比例”时，也强调推理论证。为了化解推理论证的难度，让学生先画图验证——并且先探索分一条线的情况。画图验证时，学生需要具体假定平行线之间的距离，具体测量分得的线段的长度。这时，学生面对的是距离（长度）及其比值为有理数的特殊情况，容易想到通过分解为基本量（公因数）化不等关系为相等关系，通过构造三角形全等证明线段相等——如果学生想不到，教师可以适当引导。在此基础上，学生不难想到距离（长度）及其比值为有理数的一般情况下的证明方法。这个过程再次体现从特殊到一般的思想，也很自然。得到“平行线分线段成比例”的基本事实后，让学生回头证明“由平行能得出边成比例”，初步体现这一基本事实的价值，为后续探索三角形相似的条件做足铺垫。］

参考文献：

［1］ 吕世虎，颜飞.新课标“图形与几何”内容分析：从结构到要求［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（10）：813.