体会“基本方法”和“基础作用”

摘  要：在学生初步学习一般函数的概念，系统学习一次函数、反比例函数、二次函数等特殊函数的概念与性质的基础上，设计一节拓展课，让学生研究一些简单（具体）的新函数的性质，从而引导学生充分体会研究函数性质的数形结合方法和联系转化方法，同时让学生体会特殊函数性质的基础作用：指引函数性质的基本方面；作为联系转化的对象。

关键词：初中数学；函数；函数的性质；数形结合；联系转化

*本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“初中数学课程中的代数推理及教学策略研究”（编号：SJMJ/2022/02）的阶段性研究成果。

一、 教前思考

函数是中学数学的主干知识，对方程、不等式、数列等知识起着统领作用，也是沟通代数与几何等其他领域的桥梁。在初中，学生会初步学习一般函数的概念，系统学习一次函数、反比例函数、二次函数等特殊函数的概念与性质。在这些知识的学习中，学生可能会聚焦于三种特殊函数的概念与性质及其直接的运用，从而对函数概念（表达式）的其他可能缺乏认识，对研究函数性质的基本方法和特殊函数性质的基础作用体会不深。对此，可以设计一节拓展课，让学生研究一些简单（具体）的新函数的性质，从而——

一方面，引导学生充分体会研究函数性质的几何直观方法（列表—描点—连线，作出函数图像，分析函数性质）、代数推理方法（利用数式计算，发掘数量关系，推出函数性质）和它们体现的数形结合思想。对此，进一步分析学情不难发现：学生之前研究特殊函数的性质时，因为表达式相对简单，加上教材编写及教学过程有所侧重，可能对几何直观方法比较熟悉，而对代数推理方法体会不深；对“列表—描点—连线”流程比较熟悉，而对如何取点、如何连线思考不深。因此，在教学中，可以让学生经历“试错—纠错” 的过程，在“式结构”与“形特征”中来回穿梭，从而对数形结合思想形成深刻的认识。由此，还可以让学生初步体会特殊函数性质的基础作用：指引函数性质的基本方面，如特殊值、增减性等局部性质和取值范围、对称性等整体性质。

另一方面，引导学生充分体会研究函数性质的联系转化思想（建立联系，转化为已知的函数）。对此，进一步分析学情不难发现：学生之前研究一次函数、二次函数的性质时，认识了一般的一次函数和特殊的一次函数（正比例函数）、一般的二次函数和特殊的二次函数（y＝ax2）图像之间的平移关系。因此，在教学中，可以让学生迁移已有的经验，发现新函数与已知的函数图像之间的平移关系（可延伸至关于坐标轴或原点的对称关系甚至简单的伸缩关系，不宜涉及其他数学表示过于复杂的变换关系），从而得到新函数的性质，强化联系转化的思想。由此，还可以让学生充分体会特殊函数性质的基础作用：作为联系转化的对象。

二、 教学过程

（一） 研究y＝1x2的性质，感悟数形结合思想以及函数性质包括的方面

1. 利用几何直观研究，暴露学生的问题

师  我们知道，函数是刻画变量之间关系，研究事物变化规律的数学模型。学习了函数的概念后，我们认识了一些特殊的函数，如一次函数、反比例函数、二次函数，并研究了它们的性质。显然，特殊的函数还有很多，是研究不完的。所以，初中数学教材只要求我们学习这几种函数，掌握这几种函数的性质。但是，以后我们难免会碰到一些不同的函数，如函数y＝1x2，它是什么函数呢？当然，名称只是一个代号，更重要的是：它有什么性质呢？（稍停）回顾我们学习几种特殊函数的过程，我们是怎么研究函数的性质的？一般的方法是什么？

生  画出图像来研究。

师  很好！这是一个很重要的方法：表达式是抽象的，而且是“静态”的，变成图像就很直观了，而且很容易感受到变化了。那么，还记得我们是怎么画出图像的吗？一般的方法是什么？

生  列表—描点—连线。

师  很好！下面就请大家尝试画出函数y＝1x2的图像。

（学生画图。课堂有些躁动：大家都很好奇这个函数的图像是什么样子的，不少学生对自己画出的图像没有把握，想看看别人画出了什么。大部分学生画完后，教师指名学生汇报。）

生  （出示图1）我尝试列表，但是不知道选择怎样的自变量的值比较适合，于是就正、负都选了一部分；描出点后，便随手连线画出了图像。

生  （出示图2）我和他列表、描点的方法大致一样，但是，连线画出来的图像不太一样。

生  （出示图3）我画出来是这样的。

生  （出示图4）我画出来是这样的。

2. 分析学生的问题，引出函数性质包括的方面

师  为什么同样用列表—描点—连线的方法，画出的图像会有这么大的区别呢？

生  因为列表时所取的值不同。

师  列表时所取的值不同，会影响作出的函数图像吗？

生  会的。如果所取的值集中在某个局部的范围内，对应的点就不能很好地展现整个函数图像的特征。

师  是的。所以，我们要尽可能多且分散地取点。但是，点取多了，工作量就大了。所以，我们还要进一步思考如何恰当地取点。（稍停）还有其他原因导致图像不同吗？

生  因为连线的方式不同。

师  是的。其实，这里的几幅图所取的点都差不多，但是连成的线差很多。因此，我们还要进一步思考如何恰当地连线。毕竟，“用平滑的曲线顺次连接”这种说法比较含糊。（稍停）为了恰当地取点、连线，在画图前，需要做什么？

生  需要了解函数图像的“长相”。

师  “长相”具体指什么？可以结合学过的函数图像的例子说一说。

生  具体指是直的还是弯的、是连续的还是断开的、是上升的还是下降的、有没有对称性，等等。比如，一次函数的图像是一条直线，是直的、连续的，可能上升，可能下降，一般不用考虑对称性；反比例函数的图像是双曲线，是弯的、断开的，两部分分别上升或下降，关于原点对称；二次函数的图像是抛物线，是弯的、连续的，一部分上升，一部分下降，关于对称轴对称。

（学生纷纷点头。）

师  哦！所谓的“长相”其实是函数图像的特征，能表明函数的性质，具体包括局部的特殊值、增减性等方面和整体的取值范围、对称性等方面。因此，可以补充：一次函数的图像在x轴和y轴的正负方向上都没有范围限制；反比例函数的图像无限接近x轴和y轴，但不相交；二次函数的图像在x轴的正负方向上都没有范围限制，在y轴的正或负方向上有范围限制（即有最大值或最小值）。

3. 利用代数推理研究，解决学生的问题

师  我们该如何了解函数图像的“长相”呢？

生  观察函数的表达式。

师  仅观察就够了吗？

生  还要算一算。

师  是的。算一算得到一些数量关系，推出一些性质结论。这就是代数推理，也是张景中院士所说的“寓理于算”。（稍停）观察y＝1x2的表达式，你能猜一猜图像的特征吗？

生  我想到了函数y＝1x与y＝x2，根据它们的图像特征，我猜y＝1x2的图像是双曲线，是弯的、断开的，一部分上升，一部分下降，关于y轴对称，且无限接近x轴和y轴，但不相交。

师  很好的数学直觉！你能试着算一算，推出这些结论吗？

（学生自主探究，小组交流。）

生  由y＝1x2可知x≠0，y＞0，说明图像分布在第一、二象限，与y轴、x轴都没有交点。

生  设（x1，y1）是图像上的一点，则1（－x1）2=1x21 =y1，即（－x1，y1）也在图像上，因此，图像关于y轴对称。

生  设（x1，y1）、（x2，y2）为第一象限图像上的两点，即x1＞0，x2＞0。当x1＞x2时，

y1-y2=1x21-1x22=x22-x21x21x22=（x2+x1）（x2-x1）x21x22＜0，即y1＜y2。因此，当x＞0时，y随x的增大而减小。

师  当x＜0时呢？

生  用同样的方法，在第二象限的图像上取两点，假定对应自变量的大小关系，比较对应函数值的大小关系，可知当x＜0时，y随x的增大而增大。

生  x可以无限接近0，但不能等于0，所以，图像无限接近y轴，但不相交；x2可以无限大，因此，y可以无限接近0，但不能等于0，所以，图像无限接近x轴，但不相交。

师  很好！经过大家这么多的代数推理，现在你心中有这个新函数图像的“长相”了吗？可以重新画出它的图像了吗？

［学生画图。教师出示GeoGebra软件画出的图像（如图5所示），让学生做对比。］

师  这次画图，你是如何取点的？

生  让所取的点关于y轴对称。

师  又是如何连线的呢？

生  用光滑的曲线分别连接第一象限和第二象限的点，使两段曲线都向两个坐标轴无限延伸。

4. 得到函数性质，总结研究方法

师  画出了比较准确的图像，你能得出这个函数的性质吗？

（学生观察函数图像，总结函数性质。教师补充、完善。）

师  回顾研究这个新函数性质的过程，你现在觉得应该怎么研究函数的性质？一般的方法是什么？

生  总的来说，还是应该画出图像来研究，但是最好先分析表达式蕴含的数量关系，得到图像的一些特征，从而更好地取点、连线，画出图像。

生  还要从局部的特殊值、增减性等方面和整体的取值范围、对称性等方面分析图像的特征。

师  补充得很好！其实，在很多情况下，函数都是由表达式给定的。因此，首先要“从数到形”，即进行代数推理，初步得到图像特征（函数性质的直观表达）；其次要“从形到数”，即利用几何直观，进一步明确函数性质。这样的过程充分体现了数形结合的思想。

（出示图6。）

［说明：考虑到学生研究了一次函数、反比例函数（表达式是负一次式）、二次函数的性质，让学生研究表达式是负二次式的简单（具体）函数y＝1x2的性质。教学过程顺应学生的已有经验自然展开，让学生发现直接画出图像（几何直观）的困难所在，认识函数性质包括的方面的指引作用（这为高中一般函数性质的教学做了铺垫），体会先（同步）分析表达式（代数推理）的必要性，从而对数形结合思想形成深刻的认识。］

（二） 研究y＝6x－2＋1的性质，感悟联系转化思想以及特殊函数性质的作用

师  再看一个函数：y＝6x－2＋1。它有什么性质呢？研究这个函数的性质，除了刚刚总结的数形结合方法，还有别的方法吗？

（学生思考。）

师  还记得我们是怎么研究函数y=（x+1）2+2的性质的吗？

生  （恍然大悟）y=（x+1）2+2的图像是由函数y=x2的图像向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的……

师  没错！找到新函数图像和已知函数图像之间的简单关系，就可以根据已知函数的性质得到新函数的性质了。那么，y＝6x－2＋1的图像与哪个函数的图像之间有关系？有怎样的关系？

生  与y＝6x的图像有平移关系，是由y＝6x的图像向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的。

师  你是怎么得到这个结论的？

生  我是类比y=（x+1）2+2的图像与y=x2的图像的平移关系得到的。

师  很好！类比是一种合情推理，一种大胆猜测。能不能证明这个结论呢？

生  还是要用代数推理：假设点（x0，y0）在y＝6x的图像上，即y0＝6x0，可得y0+1＝6x0+2－2＋1，即点（x0+2，y0+1）在y＝6x－2＋1的图像上。根据点（x0，y0）的任意性以及点（x0+2，y0+1）是由点（x0，y0）向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的，可得y＝6x－2＋1的图像是由y＝6x的图像向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的。

师  很好！由此可知y＝6x－2＋1有什么性质？

（学生根据已知函数的性质，得到新函数的性质。教师补充、完善。）

师  总的来看，这种方法可以称为联系转化的方法，即建立联系，转化为已知函数。具体来看，建立联系时需要借助图像，还需要分析表达式。可见，在解决问题的过程中，数学思想方法往往是综合运用的。另外，需要指出的是，函数图像之间的变换关系以及函数表达式之间的运算与代入关系非常丰富，通常只有平移关系和简单的对称关系才能比较方便地用于转化研究函数的性质。

［最后，教师布置课外作业，让学生分组研究y＝x3、y=x2-2x+3（x-1）2、y=|x|、y=x+1x等函数的性质。］

［说明：考虑到学生认识了一次函数图像之间、二次函数图像之间的平移关系，让学生研究与反比例函数有图像之间平移关系的简单（具体）函数y＝6x－2＋1的性质，以发现更多函数图像之间的关系，强化联系转化的思想，并体会特殊函数性质的基础作用，扩展研究函数性质的基本方法。作业则进一步拓展到三次函数、与“负二次函数”有图像平移关系的函数等的研究。］