数学章节复习课教学研究

摘要：数学章节复习课具有四方面的教学价值：重构知识结构，展示内在的逻辑关系;理解数学本质，感悟知识的和谐统一;深究核心问题，体悟知识的应用价值;浸润数学文化，领悟数学的理性之美。教学时，可将贯穿全章的大情境、蕴含始终的思想方法、浸润其中的数学文化作为主线。同时，要注意章节复习课不等于习题讲评课，不等于专题复习课，也不等于查漏补缺课。

关键词：章节复习课;教学价值;教学范式;《指数与对数》

为了促进数学章节复习课的教学研究，近期，南通市高中青年数学教师优秀课评比以“《指数与对数》（苏教版高中数学必修第一册）章节复习课”作为比赛课题。本文结合比赛中的精彩案例，谈谈数学章节复习课的实践与思考。

一、教学价值

（一）重构知识结构，展示内在的逻辑关系

教材中，每一章都有核心的概念、原理，有自己的主线，整个内容围绕核心概念或原理展开。苏教版高中数学教材主编李善良教授指出，从整体结构上看，章目录反映知识展开、呈现的过程;引言是确定研究主题的过程（为什么）;正文就是建立知识（是什么）和解决问题（干什么）的过程;本章回顾则是对整个研究过程、方法、结果、应用做回顾、总结、反思。章目录和引言部分提供的框架式结构图，更多的是提供了学习的目标和任务，让学生在学习之初朦胧地感知知识从哪里来、可能要到哪里去。随着新知的获取、理解，学生需要进一步厘清知识之间内在的逻辑关系是怎样的、研究过程中蕴含着怎样的思想方法。为此，我们要重构知识结构，将基础知识、研究问题的方法以及蕴含的数学思想融为一体，让学生深刻地认识到内在的逻辑关系，帮助学生形成可辨别、可拓展、有利于进一步学习的认知结构。

《指数与对数》章节复习课前，学生在章引言中感受到对初中所学的指数幂ab中的指数b进行拓展的必要性，并感知到拓展的可能方向（得到的知识结构如图1所示），但这样的想法仅仅停留在感知、猜想的层面，需要进一步的理性研究。而新知学习结束后，我们居高回望，将学习目标、知识结构以及思想方法融于一体进行重整（得到的知识结构如图2所示）。可以看出，图2源于图1，但远远高于图1。章节知识结构图丰富的过程彰显了数学理性思维的提升。

（二）理解数学本质，感悟知识的和谐统一

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课标”）在“课程理念”中指出：“高中数学教学以发展数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。”在章节复习课中，良好的逻辑结构的建立有利于整体把握知识之间的内在联系。在此基础上，更高层次的认识是把握数学内容的本质，深刻理解关联知识之间的一致性，感知数学的统一美、和谐美。

18世纪，欧拉深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他说：“对数源出于指数。”这并不是指对数的发现源出于指数，而是指对数与指数本质上的一致性。《指数与对数》章节复习课中，我们应该帮助学生深刻认识两者的等价关系（ab=Nloga N=b），以及在两者等价关系的基础上产生的一系列变换（ab=N，b=logaNalogaN=N;logaN=b，N=ablogaab=b）。

（三）深究核心问题，体悟知识的应用价值

教材编写时，往往用入口较浅的生活案例或容易理解的实例作为全章的问题情境。这个情境也是该章核心内容的原型，在该章

中将多次以不同的层次或角度出现，统领全章。全章新授课完成后，应该重新围绕大情境，审视核心问题，再设置相关习题，将各部分新知中的零散问题融为一体并适度提升，让学生在解决问题的过程中，体悟知识的应用价值。

《指数与对数》一章中，贯穿全章的情境是细胞分裂。教学中，类似的情境很多，如14C的半衰期、人口增长、声强等。这些情境反映的核心问题都是对数与指数的相互转化，指向本质上的一致性。在章节复习课中，结合各种“指对互换”模型创设情境，引导学生解决实际问题（如例1、例2），有利于学生体悟数学知识的应用价值。

例12018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式暴发，仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾;到2020年春季，蝗灾已波及印度和巴基斯坦。假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过多少天能达到最初的1600倍？（参考数据：ln1.05≈0.0488，ln1 600≈7.3778，ln16 000≈9.6803）

例2（2020年高考全国Ⅲ理科数学卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）=K1+e-0.23（t-53），其中K为最大确诊病例数。当I（t*）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）

（参考数据：ln 19≈3）

A. 60B. 63C. 66D. 69

（四）浸润数学文化，领悟数学的理性之美

课标在“课程性质”中指出：“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。”教材编写通过旁白、例题习题、阅读材料等多种方式渗透数学文化。教师在数学教学中融入数学文化，既要有新知讲授过程中的零散渗透，也要有新知教学结束后的完整呈现。后者有利于引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，领悟数学中深植的理性之美，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养。

苏教版高中数学教材在《指数与对数》一章中，设置了阅读材料“对数概念的形成和发展”、问题与探究板块“秘诀在对数”等数学文化内容。章节复习课中，我们可以合理使用这些融知识性、趣味性于一体的素材，或整体阅读，或贯穿到结构重整的过程中，或设置为例题、习题，让数学文化真正融入课堂。

二、教学范式

华罗庚先生曾说过：“熟书生温，似乎在复习，但把新东西讲进去了……找另一条线索把旧东西重新贯穿了起来。”章节复习课就是这样一个“熟书生温”的过程，它是对新知的再生成、再认识。章节复习课中，教师可以将贯穿全章的大情境、蕴含始终的思想方法、浸润其中的数学文化作为主线，用不同的方式教学。

（一）以情境为主线：核心问题贯穿式

章节复习课的教学，可以围绕贯穿全章的大情境及核心问题将全章的知识点有机融入，并结合知识之间的内在联系设置问题串，依托问题串重整全章的知识结构。在此基础上，围绕核心问题的分解进行初步应用，强化基础知识、通性通法;围绕情境化综合问题进行深度探究，促进本质认识，渗透数学文化。以情境为主线的章节复习课的基本教学范式如下页图3所示。

【案例1】

1.课堂引入

利用导语帮助学生激活本章所学内容，为后续学习做铺垫;结合两个核心问题，指出本节课的学习目标。具体导语与问题如下：

导语指数与对数在我们的生产生活中有着广泛的应用，如细胞的分裂、人口的增长、银行利息、放射性物质的衰减、溶液的酸碱度测定等问题。

问题1通过前面的学习，你认为对数与指数之间具有怎样的密切联系？

问题2指数与对数具有怎样的研究价值？

2.情境建构

结合大情境及核心问题，设计问题串：

良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇和瓶窑镇，1936年首次被发现。这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑。考古学家利用遗址中遗存物14C的残留量，测定古城存在时期为公元前3300—前2500年。

生物死亡后，机体内原有的某元素的含量会按确定的比率衰减。经过科学测定，若该元素的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=12x5000。

（1）生物死亡1、2、5000、6000、7000……年后，它体内该元素的含量分别是多少？

（2）生物死亡多少年后，它体内该元素的含量为原始含量的13？

（3）生物死亡7000年后，它体内该元素的含量是其死亡6000年后的多少倍？

结合以上问题的理解，请尝试画出本章的知识结构图。

引导学生在解决问题时，构建可视化思维导图（如图4所示）;在反思交流中，重构本章的知识结构图（如下页图5所示）。

3.初步应用

出示例1及其变式与拓展：

例1已知3a=5b=15，求1a+1b的值。

变式已知3a=5b=t，且1a+1b=1，则t=。

拓展已知3a=5b=45c，求证：2a+1b=1c。

通过条件和目标的分析，合理选择运算路径（如图6所示），即根据指数式与对数式之间的关系，将条件和目标都转化为指数式或对数式，然后根据相应的运算性质运算。在多种方法的灵活运用中，进一步感知指数与对数的一致性。

4.深度探究

出示例2：

例2溶液酸碱度是通过pH计量的。pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol/L。

（1）已知常温下纯净水中氢离子的浓度为10-7 mol/L，计算纯净水的pH;

（2）已知常温下某溶液的pH为9，则纯净水中氢离子的浓度是该溶液中氢离子浓度的多少倍？

通过条件和目标的分析，确定解题思路，即“收集[H+]的数据→对数运算处理数据→得到pH值→判断酸碱性”。通过对实际问题的求解，进一步体会指数与对数在科学技术、生产生活中的作用与价值。

（二）以方法为主线：思想方法引领式

数学学习的核心是思维方法的学习，适时地从思想方法的视角对传统的教材章节（知识单元）进行重整，用高观点、思想性引领学生的学习，更有利于学科素养的提升。章节复习课更多地要关注教学内容的本质及其蕴含的数学思想。以方法为主线的章节复习课的基本教学范式如图7所示。

【案例2】

1.构建框架，理解本质

出示具体的活动任务，以及两个具有一般性的问题：

活动任务1给出2、3、8三个数字，在不重复使用的前提下，请写出包含这三个数字的等式。

问题1从定义看，指数式和对数式的互化有什么内在的联系？

问题2从运算性质看，指数运算和对数运算有什么联系？

引领学生依托得到的三种式子（如图8所示），复习指数和对数的概念、运算性质，感悟指数和对数的一致性，并将特殊与一般、化归与转化等数学思想方法融合到知识的再建构中，得到本章的知识结构图（如下页图9所示）。

2.初步应用，掌握算理

出示具体的活动任务，以及一个具有一般性的问题：

活动任务2完成以下四个问题，展示、交流其解答过程。

（1）计算：（0.027）-13-61412+25634+（22）-23-3-1;

（2）[教材第93页第11（3）题]已知a+1a=3，求a+a-1a12-a-12的值;

（3）[教材第93页第12（1）题]计算：lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2;

（4）（教材第93页第13题）已知log23=a，log27=b，试用a、b表示log4256。

问题3初中数学涉及函数思想、方程思想、转化思想、整体思想等，以上指数与对数运算的典型问题中包含了哪些数学思想方法？小组交流。

在运算过程中，凸显底数的一致、结构的一致、已知与未知的一致;利用问题引导学生感悟内蕴的方程思想、转化思想、整体思想等。