数的认识及数的运算一致性的思考

［摘 要］《课程标准》将数的认识和数的运算两个方面的内容统整在“数与运算”这一领域中，并指出要让学生经历由数量到数的形成过程，感悟数的认识、数的运算以及四则运算之间的关系，进而感悟数的运算本质上的一致性。文章先从整体分析四则运算的本质及关系，让学生感悟数的概念的一致性，再探讨整数、小数和分数是如何实现运算的一致性的，使学生经历从现实世界到符号世界的数学化的过程，发展学生的核心素养。

［关键词］四则运算；运算一致性；数与代数

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）02-0051-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（全文简称《课程标准》）描述的数的运算一致性体现为，数的认识的一致性及数的运算的一致性。数的认识是运算的基础，通过数的运算，学生能更好地认识数。四则运算本质上是计数单位多少的表达，加法和乘法是计数单位个数的累加，减法和除法是计数单位个数的细分。然而，整数、小数、分数数域不同，三者有各自的运算法则，其一致性不能很好地体现。考虑不同年龄段学生的认知发展水平的差异，涉及数的认识及运算的内容要求在教材中的分布如下（见表1）。然而，这样的分布使得学生难以从整体上感受数的运算的一致性。为打破这种隔阂，笔者设计了“四则运算”复习课，并结合课例探讨了数的认识及数的运算一致性教学方法。

一、数的认识及数的运算一致性的基本要求

（一）结合真实情境，感悟数的本质

在教授数的概念时，教师应引导学生结合生活实例，明确各种数的本质。整数是对具体数量的抽象，分数表示两个量之间的关系，小数则表示更为精确的数量。虽然各种数所表示的意义不同，但数的表达形式都是计数单位的表达（有多少个计数单位），表达内容也相同（多个计数单位的累加）。

（二）沟通算法、算理、算律，掌握运算技能

数的运算需要明确三个概念：算理、算法和算律。学生先理解算法，然后归纳出算理，最后总结出算律。因此，数的运算的基本原则就是“算律决定算理，算理决定算法”。根据这个原则，不难发现，整数、小数、分数的四则运算都是存在一致性的。

（三）逐步抽象，体会“数学化”的过程

基于《课程标准》提出的“三会”核心素养的指导原则，课程性质这样描述数学：数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律。因此，在数学课堂教学中，教师应注重引导学生将数逐步抽象，培养学生运用数学思维的能力，从而实现对现实世界进行数学化的思考。

二、分析数的本质意义，沟通加、减、乘、除法的关系

根据学生对加法、减法、乘法和除法的认识，笔者于课前提出2个问题让学生结合现实生活和数的实际意义来表述。

问题1：什么是加法、减法、乘法、除法？

问题2：在什么情况下使用加法、减法、乘法、除法？

【加法和减法互逆、乘法和除法互逆教学】

加法是把若干个部分合并为一个整体（如A+B=C）；减法是从整体中分离出一部分，得到另一部分（如C-B=A）。因此，加法和减法构成了互逆关系。教师可以应用类似的方法，引导学生感悟乘法和除法的互逆性：既然若干个相同的部分能够组成一个整体（乘法），那反过来，从一个整体里逐个分离出若干个相同的部分，这个过程就是除法。

【加法和乘法的关系教学】

加法是将若干个部分合起来变成一个整体；乘法表面上是若干个数相乘，但实际上乘法也是加法的一种表达形式。加法与乘法之间的联系在于，它们均表达了将若干个部分整合为一个整体的概念。只不过把若干个相同的部分合起来，既可以用加法，也可以用乘法，且乘法是加法的简便运算。

例如，笔者结合现实情境，给学生创设分糖的故事，激发学生的学习兴趣和学习热情，并引导学生用规范、简洁的语言，包括符号、图形等表示相关的数量关系（如图1），以便学生理解乘法与加法之间的关系。

【减法和除法的关系教学】

减法和除法都表示从一个整体中分出若干个部分。教学时，教师引导学生探究“为什么有了减法还要有除法”，学生会发现减法是一份一份去掉，而除法是将其合起来一起去掉，除法比减法更加简便（如图2）。

加法、减法、乘法、除法之间的关系：加法、减法互为逆运算，乘法、除法互为逆运算；乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。只有从数学化的角度深刻地剖析四则运算，才能沟通数的运算的一致性，体现数的运算的本质意义。

三、明理得法，实现数的运算的一致性

数的认识与数的运算的一致性都是以计数单位为基础，数的认识的一致性是从计数单位的角度审视数的构成，建立自然数、分数、小数之间的抽象联系，从中抽象出的计数单位是认识自然数、分数、小数共同的基础。在进行整数、小数、分数的加法、减法、乘法、除法运算时，首先需要统一计数单位，然后对相同计数单位上的个数进行对应的运算，这个过程实则是对计算单位个数的分与合。在探究过程中，教师应引导学生理解数的算理、算法的一致性，沟通各种数之间的联系，以实现有效迁移。然而这要求学生具备较强的抽象概括能力，对此，笔者将这一内容放在六年级下学期期末复习阶段，进一步培养学生的模型意识和推理意识。

（一）加法、减法运算的一致性

笔者以整数加法、减法中的竖式计算为桥梁，让学生在计算过程中探究数位对齐的必要性。从低位算起，目的是引发学生对计数单位的思考：在进行加法、减法运算时，实际上是在相同计数单位上进行个数的加、减。对于小数、分数的加法、减法，可以让学生从统一计数单位的角度探索运算的一致性。整数加法、减法中，末尾对齐；小数加法、减法中，小数点对齐；分数加法、减法中，异分母分数先通分，再计算。这样做都是为了统一计数单位，即只有当计数单位相同时，才能直接进行加、减运算。

（二）乘法、除法运算的一致性

在探究新知以及复习巩固的教学中，教师不妨引导学生从数的运算一致性的角度去分析，便于学生在思考时有一个抓手。乘法与除法的算理较为复杂，可分开教学。

1.乘法运算的一致性

在整数乘法的竖式计算教学中，教师应引导学生分析计算的过程：用第二个乘数的个位上的数依次与第一个乘数各个数位上的数相乘，乘得的数写在相应的数位上，求得几个一；用第二个乘数的十位上的数依次乘第一个乘数各个数位上的数，乘得的数写在相应的数位上，求得几个十，以此类推。通过分析，学生能理解乘法计算与计数单位之间的关系：乘数的哪一位参与乘法运算，其结果就与该位对齐，表示乘得的相应计数单位的数量。最后，将相同计数单位上的数值进行累加，从而得出乘积。

竖式表示算法，横式表示算理，教师要让学生在理解乘法意义的基础上去探索算理。如对于整数乘法算式20×6，直观分析可得2个十乘6得12个十，即120。教师不妨在此基础上引导学生利用乘法交换律和乘法结合律作进一步理解：20×6=（2×10）×（6×1）=（2×6）×（10×1）=12×10=120。

在整数乘法的基础上可以类比得出分数乘法的算法。分数乘法的算法为分母相乘得到新分母，分子相乘得到新分子。那分数乘法是如何统一计数单位的呢？以[34×12]为例，把一块饼平均分成4份，取其中的3份，再把这3份平均分成2份，取其中的1份，这一过程就是求[34中的12]是多少。通过画图，出现了新的分数单位[18]，这个新的分数单位就是分母乘分母得来的，而分子乘分子就是在算新的计数单位的个数。

在探究小数乘法时，就可以借用探究整数、分数乘法的经验，实现正向迁移。在这个过程中，变化的是乘数的小数位数。乘数变成小数，其计数单位就发生了相应的变化。因此，只要用乘数的小数位数来确定积的小数位数，并在计算最后点上小数点，就能得到表示得数的计数单位。如0.5×0.03=（5×0.1）×（3×0.01）=（5×3）×（0.1×0.01）=15×0.001=0.015。

可见，无论是整数、小数还是分数的乘法运算，均需先明确计数单位，再将计数单位的数量相乘。

2.除法运算的一致性

除法的一致性体现在相同计数单位的个数相除。整数、小数、分数除法的关键就是要在相同计数单位的基础上进行“包含除”或者“平均分”的运算。学生对整数除法进行理解相对容易，然而，当除法运算拓展至小数、分数时，学生理解起来难度显著增加。对此，笔者利用“商不变”原理设计题组，让学生在对比练习中强化理解。

①12÷4，12表示12个一，4表示4个一，12÷4表示12里包含多少个4，也可以说把12个一平均分成4份，每份是3个一。

②120÷40，可以看作120个一除以40个一来算，也可以看作12个十除以4个十来算。

③1200÷400，可以看作12个百除以4个百来算。

上述三道整数除法算式的被除数和除数的计数单位相同，所以都可以转化成12÷4来算。那小数除法呢？如12÷0.4，12表示12个一，而0.4表示4个0.1，被除数和除数的计数单位不同，所以要想办法把它们变得相同。变成120个0.1除以4个0.1，即120÷4=30，如此就统一了计数单位，这也是要把小数除法变成整数除法算的原因。

基于以上的认识，可以继续让学生分析小数除法。

474÷232=2……10，4.74÷2.32=（     ）……（     ）。

474个0.01除以232个0.01，计数单位相同，所以可以转化成474÷232来算，商是2，余数不再是10，而是10个0.01，即0.1。

整数和小数都是以十进制计数法为基础，而分数的计数方法则是基于没有明确倍数关系的“分数单位”构建的。如[34÷12]，可以表示为[34]里有几个[12]。通过通分，将[34÷12]变成[34÷24]，计数单位就相同了，计算时只需要将分子相除，3÷2求得[32]，分数的分子相除就是将计数单位的个数相除。在实际教学中，通过看图、举例归纳出分数除法的经验——除以一个数，等于乘上这个数的倒数。这其实也是从“除法是乘法的逆运算”中得来的，是一个数学化的思考过程。

可见，无论是整数、小数还是分数的除法运算，其核心皆在于统一计数单位，并在此基础上均分计算单位的个数。

综上所述，本次复习课的内容多，实际教学时要分课时来开展。第一节课，结合实际情况，让学生感受加、减、乘、除的意义及其相互关系；第二节课，探究加法、减法运算的一致性，并做相应总结；第三节课，探究乘法、除法运算的一致性，并做相应总结，让学生体会四则运算的一致性，即先统一计数单位，再计算计数单位的分与合。这三个课时的复习需要教师把握教材相关知识的结构，以整体视角去研究知识点之间的联系，从而进行单元整体教学，帮助学生理解并感受数的认识的一致性和数的运算的一致性，提升其综合素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 王平，任建波.依托主题大概念  建构单元大整体：“分数与整数相乘”教学实践与思考[J].小学教学参考，2023（23）：6-8，12.

[2] 史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养[J].教师教育学报，2022，9（3）：92-96.

[3] 岳增成，林永伟.基于数学史的运算一致性教学的思考[J].教学月刊小学版（数学），2023（10）：12-16.

[4] 翟雪皎.践行新课标  凸显一致性：以“分数乘除法”一课为例[J].小学教学研究，2023（26）：47-49.

（责编 覃小慧）