贯通算理，统整算法：感悟数运算的一致性

［摘 要］《课程标准》明确指出，数的运算教学应注重对整数、分数和小数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性。文章通过对分数乘法、分数除法的整理与复习，贯通算理，统整算法，建立整数、分数和小数运算的联系，引导学生以整体的、联系的、发展的眼光看问题，感悟数运算的一致性，提升学生的思维水平。

［关键词］分数乘法；分数除法；运算一致性

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）02-0054-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（全文简称《课程标准》）指出，“数与运算”包括整数、分数和小数的认识及其四则运算。数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法、厘清数与运算之间的关联。教材是根据知识点的内在逻辑结构和学生的认知发展顺序编排的，但编排内容以单独的模块为单位，缺乏对数与运算的统筹。对此，在实际教学中，教师要帮助学生搭建联系新旧知识的桥梁，以培养学生的推理意识和运算能力。

【课前思考】

对于分数乘法、分数除法整理与复习，部分课堂会存在如下两个问题。

问题1：分数乘法的复习与分数除法的复习彼此孤立，未能建立起分数乘法与分数除法之间的联系，使学生缺乏对分数乘除运算的整体认知。

问题2：学生虽对分数乘法、分数除法的算法积累了一定的经验，但没有构建起分数运算与整数、小数运算之间的关系体系，因而缺乏对整数、小数和分数运算一致性的认识。此外，小学生的思维从具体形象思维为主要形式逐步过渡到抽象逻辑为主要形式，若他们缺乏对数学概念的深入理解，就会在很大程度上限制其解决复杂问题的能力。

分数乘法、分数除法的整理与复习要梳理“知识点”，建立“知识链”，形成“知识网”，使知识结构化、系统化。

【教学目标】

目标1：学生梳理分数乘法、分数除法的算法和算理，理解整数、分数、小数运算的内在联系。体现数的乘除法运算的一致性。

目标2：学生经历交流、讨论、分析、归纳等活动，建构整数、分数、小数乘除运算的联系，形成乘除法运算的知识结构，发展运算能力，培养推理意识。

目标3：学生在结构化、系统化的整理复习过程中，养成理性思辨、乐于思考的学习品质。

【教学实践】

一、回顾算法，建立联系

（教师出示[12×5]，[120×15]，[25×13]）

师：对于这些分数的乘法算式，大家知道怎么算吗？

生1：[12×5=1×52=52]，分数乘整数的算法是分子与整数相乘的积作分子，分母不变。

生2：[120×15=120×15=1205=24]，整数乘分数的计算方法也是同样的。

生3：[25×13=2×15×3=215]，分数乘分数的算法是分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母。

师：观察这三种类型的分数乘法，它们的计算方法有什么联系？哪一种更具有代表性？

生4：分数乘分数更有代表性，因为整数可以看作分母为1的分数，所以分数乘整数、整数乘分数都可以看作是特殊的分数乘分数。

师：你的思考很深入，这样我们就把分数乘法的计算方法都统一为分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母。

（教师出示[910÷3]，[2÷15]，[45÷225]）

师：这些分数除法怎么计算呢？

生5：[910÷3=910×13=310]，[2÷15=2×5=10]，[45÷225=45×252=10]。

生6：将这些计算过程汇总，分数除以分数更具有代表性，分数除法可以总结成一个数除以分数等于这个数乘分数的倒数。

师：你的总结太棒了，这个计算方法不仅包括了分数除法，还包括了整数除以整数的情况。（板书“甲数÷乙数=甲数×[1乙数]，乙数≠0”）

师：通过上面算式的计算，你能找到分数乘法和分数除法之间的联系吗？

生7：分数乘法和分数除法互为逆运算。

【思考】引导学生回顾算式，让他们统整了不同类型的分数乘法和分数除法的计算方法，沟通了分数乘法和分数除法知识之间的联系，这凸显了分数乘除运算方法的一致性。学生只有将头脑中的“知识点”形成“知识链”，才能构建起分数乘除运算的“知识网”。

二、直观表征，演绎推理

1.基于分数乘法的意义，直观表征贯通算理

师：对于分数乘除法，我们不仅要会算，还要理解为什么这样算。课前，我们复习了分数乘除法的算理，接下来先在小组内交流复习情况，然后汇报学习成果。

生1：[12×5]就是求5个[12]相加的和，[12×5=12+12+12+12+12=52]；[15×120]就是求120个[15]相加的和，[15×120=15+15+15+…+15120个=1205=24]，但是[25×13]不能说成[13]个[25]相加的和。

师：那分数乘法的意义是什么？

生2：通过画图，我认为[12×5]表示为5的[12]是多少（如图1-1、图1-2），[120×15]表示120的[15]是多少（如图1-3），[25×13]表示[25]的[13]是多少（如图1-4）。

师：也就是说，分数乘法都可以统一表示成一个数的几分之几。生1、生2分别从分数乘法的两种意义解释了算理。谁来解释如图1-4所示的分数乘法算理？

生3：[25]是2个[15]组成的，[13]是1个[13]组成的，所以[25×13=2×15×1×13=（2×1）×15×13=2×115=215]。

师：大家听明白生3的解释了吗？

生4：我听明白了。[15×13]表示分数单位相乘，[2×1]表示对应的分数单位个数相乘。

师：我们从分数单位的角度研究[25×13]，先算[15×13]，就是分数单位与分数单位相乘得到新的分数单位[115]，再算[2×1]，实际上是分数单位的个数相乘，表示新的分数单位的个数，这就是用分子乘分子作分子，分母乘分母作分母计算分数乘法的道理。

【思考】根据分数乘法的意义，结合直观表征，提升学生对算理的理解，发展学生的运算能力。要让学生贯通算理，一要贯通知识之间的联系，二要贯通知识内容的本质。通过从分数单位的角度研究分数乘法，学生经历推理的过程，发现分数乘法的本质是“分数单位与分数单位相乘，分数单位的个数与分数单位的个数相乘”，提升了推理意识。

2.基于基本规律，演绎推理贯通算理

师：哪个小组分享一下分数除法的研究成果？

生1：我们小组认为[910÷3]可以表示把9个[110]平均分成3份，每份是3个[110]，也就是[310]。（小组展示算式“[910÷3=9÷310=310]”）

生2：我们小组觉得[910÷3]可以表示把[910]平均分成3份，也就是求[910]的[13]是多少。（小组展示算式“[910÷3=910×13=310]”）

师：生1、生2所在的小组是从除法的意义——平均分，来理解分数除法的。

生3：我们小组认为[2÷15]表示2里面包含多少个[15]。2就是[105]，[105]里面包含10个[15]。（小组展示算式“[2÷15=105÷15=10]”）

生4：我们小组觉得1里面包含5个[15]，所以2里面包含2×5个[15]，也就是[2÷15=2×5=10]。

师：生3、生4所在的小组是从除法的意义——包含除，理解分数除法的。那[45÷225]呢？

生5：我们小组根据商不变的性质推理，被除数和除数同时乘[252]，[45÷225=45×252÷225×252=45×252÷1=45×252÷1=45×252=10]。

生6：我们小组也是用推理的方式，假设[45÷225=A]，由于除法是乘法的逆运算，因此[A×225=45]，根据等式的基本性质，两边同时乘[252]，得到[A×225×252=45×252]，即[45÷225=45×252=10]。

师：生5、生6所在的小组的同学推理意识很强，验证了[45÷225=45×252]的合理性。那我们能不能从分数单位的角度研究[45÷225]呢？

生7：我们小组认为[45]也就是[2025]，[2025]里面有20个[125]，[225]里面有2个[125]，因为20个[125]里面包含10个[225]，即[45÷225=2025÷225=10]。

师：生7所在的小组的同学是先通分，统一被除数和除数的分数单位为[125]，再利用除法的意义——包含除，来理解这个过程，非常好。其实，类似于分数乘法，从分数单位的角度研究分数除法还可以这样推理，大家看看下面的算式，然后解释每一步为什么这样推理？

师（出示[45÷225=45×252=4×15×25×12=4×12×25×15=（4÷2）×15÷125]）：仔细观察，[15÷125]表示什么意思？

生8：[15÷125]是分数单位与分数单位相除。

师：算式中的4÷2表示什么意思？

生9：4÷2是分数单位的个数与分数单位的个数相除。

师：我们从分数单位的角度研究了分数的乘除运算，对比来看，分数的乘除运算在本质上有什么联系？

生10：分数乘法是分数单位和分数单位相乘，分数单位的个数与分数单位的个数相乘。分数除法是分数单位和分数单位相除，分数单位的个数与分数单位的个数相除。

【思考】引导学生从除法的意义的角度理解分数除以整数和整数除以分数的算理，这种方法缺乏一般性，只适用于解释某些特殊分数除法的例子。为了让学生理解一般的分数除以分数的算理，根据商不变的性质和等式的基本性质，利用演绎推理的方法，推导出更为复杂的分数运算原理。此过程基于等式的基本性质和运算律，引导学生经历演绎推理的过程，发现分数除法的本质是“分数单位和分数单位相除，分数单位的个数与分数单位的个数相除”，进一步理解分数乘除运算的本质。

三、贯通算理，统整算法

师：你能自己举例说明整数乘法、小数乘法也是计数单位的运算吗？

生1：以整数乘法为例，35×2=（30+5）×2=30×2+5×2=（3×2）×（10×1）+（5×2）×（1×1）=60+10=70。利用乘法分配律将每个数基于计数单位进行分解；利用乘法交换律和乘法结合律将计数单位的个数与计数单位的个数相乘，计数单位与计数单位相乘，然后将两部分相加。

生2：以小数乘法为例，0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06。可以发现0.1×0.1是计数单位乘计数单位得到新的计数单位0.01，2×3是计数单位的个数乘计数单位的个数得到新的计数单位的个数。

生3：以一位小数乘两位小数为例，0.2 × 0.34 =0.2 ×（0.3 + 0.04）= 0.2 × 0.3 + 0.2 × 0.04 =（2×3）×（0.1×0.1）+（2×4）×（0.1×0.01）=0.06+0.008=0.068。

师：这说明小数乘法的算理也是“计数单位与计数单位相乘，计数单位的个数与计数单位的个数相乘”。那整数除法、小数除法也有类似的结论吗？

生4：以整数除法为例，468÷4=（4×100+4×10+28×1）÷4=（4÷4）×（100÷1）+（4÷4）×（10÷1）+（28÷4）×（1÷1）=100+10+7=117。