指向数学理解的教学设计研究

［摘 要］数学教学应高度关注学生对知识的理解。文章从“数学理解”的内涵出发，阐述其在教学设计中的具体体现，并以“平行四边形的面积”教学设计为例，展示其在教学中的运用：通过系列教学活动，帮助学生经历“经验理解”“表象理解”“联系理解”“应用理解”及“思想理解”，使学生对知识的理解不断深化，最终实现对数学思想的认同。

［关键词］数学理解；平行四边形的面积；教学设计

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）02-0077-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）高度重视学生对知识的理解。在数学课堂中，若教师仅传授冰冷的知识，而不关注学生对知识的理解，教学效果必将不佳，教学目标也难以达成。学生只有深度理解知识、完善知识网络，才能灵活运用所学知识解决数学问题。因此，有效的教学需学生真正理解知识：既明白知识的生成过程，又领悟其背后蕴含的思想。

一、数学理解的内涵

20世纪70年代，英国数学教育家斯根普开始研究数学理解，明确指出理解并非虚无缥缈，而是一种积极进取的状态。此后，数学理解的相关研究层出不穷。

数学理解具有双重属性，既体现为学习目标，又贯穿学习过程；既是连接数学世界与现实生活的桥梁，又是衡量教学效果的重要指标。《课程标准》中多次提及“理解”，足见其对学生数学学习的重要性。数学学习中，学生要对知识的来龙去脉了如指掌，准确把握隐藏在知识背后的数学思想和方法，方能称得上是真正理解数学知识。为实现这一目标，教师需关注学生的理解层次，引导学生逐步深入理解知识，并领悟其中的思想与方法。

数学理解是一个由浅入深、逐步发展的过程。学生对数学知识的理解可大致划分为五个层次：经验理解、表象理解、联系理解、应用理解和思想理解（如图1）。其中，经验理解指学生在学习新知识前已有的经验和认识，多停留在表面。表象理解则是在教师创设的数学情境中，学生对新知产生的初步理解。联系理解是在经验理解和表象理解的基础上，学生找到新旧知识的联系，完善知识网络，确定新知识的立足点。学习的最终目的是应用知识解决问题，应用理解指学生能灵活运用新知解决问题。最高层次的思想理解，指学生在学习和应用新知的过程中，发现并理解其中蕴含的数学思想，形成良好的数学素养。思想理解贯穿数学理解的各个层次，各层级理解相辅相成，共同促进学生发展。

总之，数学理解是一种内在的心理过程，学生从已有经验出发，在教师引导下寻找新旧知识的联系，初步形成知识表象，从而更深刻地认识知识本质，灵活运用知识，体会内在的数学思想。

二、数学理解在教学设计中的体现

作为数学教师，要在教学中切实展现数学理解的内涵，推动学生深入理解，需巧妙设计教学方案并关注学生理解情况（如图2）。一是经验理解，学生已有一定的生活与学习经验，教学应充分利用这些经验，通过情境引导学生有效应用。二是表象理解，教师需引导学生捕捉信息、提取概念，并归纳总结知识以形成表象。三是联系理解，在学生掌握经验与表象理解后，教师应引导其将新旧知识联系起来，使新知在原知识网络中有意义。四是应用理解，知识理解不能仅停留于知晓，而应会应用。五是思想理解，此为数学教学的终极目标。学生在学习中会领悟多样数学思想，教师需引导其总结并创造性解决问题。

在数学教学中，教师需创设情境，激活学生已有经验，引导其对知识进行提取概括以获得知识表象，并从原有认知结构中寻找新旧知识的联结点，从而将新旧知识联系起来，丰富知识网络，助力知识应用以解决数学问题，并从中感悟数学思想与逻辑思维。这样，学生才算真正理解新知识，实现数学理解。

三、指向数学理解的教学设计示例

理解是知识运用的基础，因此教师在数学课堂应特别关注学生理解的层次。下面以“平行四边形面积”的教学设计为例，从经验理解、表象理解、联系理解、应用理解及思想理解五个层次逐步推进教学活动。在这五个层次中，首先是基于学生经验引导其进行意义建构，形成表象；然后启发学生以旧知理解新知，建立联系；最后给予学生巩固提升的机会，促进学生应用理解与思想理解。

（一）创设情境：激活经验理解

师（出示图3）：请看大屏幕，这两个图形的面积相等吗？你想怎样比较呢？

生1：数格子，两个图形都占12个格子，所以面积相等。

师：还有其他方法吗？

生2：平移图形①中的2个格子，就可以将它拼成和图形②完全一样的长方形。

师：为什么要拼成一个长方形呢？

生2：这样就能用长方形的面积公式求面积了。

【分析：教师引导学生采用不同思路、选择不同方法解决问题，能启发学生多维度思考，培养学生的发散性思维。此外，持续的追问能逐步激活学生的经验理解，为新知识的教学做好铺垫。】

师（出示图4）：继续比较，这两个图形的面积相等吗？

生3：平移图形③中的三角形，将图形③拼成与图形④相同的正方形。

师：为什么不数格子了？

生3：因为平移更方便，且图形③所占的格子并不全是整格，不好数。

师：厉害！通过平移，将不熟悉的未知图形转化成熟悉的已知图形，这种方法叫作转化。

【分析：教师借助两个简单问题，引导学生独立分析并深刻感受到转化的魅力与作用。通过启发学生思考“转化前后什么变了，什么不变”，引导学生发现“转化前后形状变，面积不变”，然后让学生带着这一发现继续感悟转化的妙处，这就是从学生已有认知出发，既能巩固知识，检查学习情况，又能调动学生学好新知的信心。此处，教师激发了学生的经验理解。】

（二）提取概括：生成表象理解

所谓知易行难，教师在教学中应多鼓励学生动手操作、大胆尝试和比较分析，这样有助于培养学生的思维能力，并让学生感受数学的魅力。

师（出示平行四边形）：这是什么图形？你会求它的面积吗？有什么好方法？

生1：这是平行四边形，可以将它转化为长方形。

师：如何转化？不妨动手试试，可画一画、剪一剪、拼一拼。

生2：我剪出一个三角形再拼。

生3：我剪出一个梯形再拼。

【分析：学生提出的解决方法极具价值，这是他们通过动手操作、交流讨论、总结归纳得出的，体现了他们对知识的思考与分析。】

师：为什么沿高剪？如果不沿着高剪，会出现什么情况？试一试。

生4：得到的仍然是平行四边形，无法求其面积。

师：将平行四边形进行剪拼，转化为熟悉的长方形，就可以用公式计算面积了。如果这个平行四边形特别大，无法剪拼，又该怎么办呢？

【分析：基于学生的经验理解，教师通过提问启发思考，帮助学生初步感知新知识。在分析比较中，师生共同确定后续教学方向。教学中不仅要传授知识，更要注重培养学生的数学思想。教师启发学生用数学眼光进行比较分析，不但能提高学生解决问题的能力，还能促进学生形成表象理解。】

（三）融合新旧：建立联系理解

师：通过操作和讨论，你有怎样的发现？

生1：因为得到的长方形是由平行四边形转化而成的，所以两者的面积相等。

生2：转化之后，平行四边形的底变为长方形的长，高变为长方形的宽。

【分析：教师鼓励学生大胆表达，明确平行四边形与长方形的关系，推导出平行四边形的面积公式。在此过程中，教师帮助学生找到新知识的落脚点，让学生感悟知识间的联系，明确新旧知识环环相扣，搭建联系理解。】

师：长方形的面积公式可以用字母表示，是否也可以用字母表示平行四边形的面积公式？怎样表示？

生（齐）：可以，[S=a×h]。

【分析：教师组织学生合作探究，鼓励学生主动表述并概括想法，提升学生的总结能力。随后，教师适时引导，让学生利用已有经验在新情境中建构新旧知识间的联系，搭建联系理解。】

（四）知识迁移：实现应用理解

师（出示题目）：一块平行四边形玻璃，底为50 cm，高为70 cm，面积是多少？

生1：利用平行四边形的面积公式即可解决问题，[50×70=3500（cm2）]。

师（出示图5）：下面两个平行四边形的面积之间有怎样的关系？

生2：相等。

师：这两个图形看上去形状、大小都不同，为什么面积相等呢？

生3：它们有着共同的底，高也相同，根据平行四边形的面积公式可知两者面积相等。

【分析：学生想要真正掌握新知，不仅要将新知“挂靠”在旧知上，还要在迁移应用的过程中不断巩固、逐步强化。这里，教师为学生提供应用知识的机会，帮助学生达成应用理解。】

（五）总结展望：培养思想理解

师：数学课进入尾声了，请同学们分享收获吧！

生1：想求平行四边形的面积，可以将其转化为长方形。

生2：我掌握了平行四边形的面积公式，之后想要计算平行四边形的面积，只需要代入公式即可。

生3：转化思想至关重要，遇新问题可尝试转化，变陌生为熟悉，再求解。

【分析：教师课末归纳总结，引导学生领悟转化思想精髓。通过强调转化思想为解决问题常用之法，能化解陌生为熟悉，提升解题效率。这样，将数学思想融入日常教学，就能促进学生实现思想领悟。】

学生的数学理解层次不仅仅关系到某个知识点的掌握，更会影响教学目标的达成和数学思想的培养。如果学生对知识的理解停留在表面，无法深入，找不到新旧知识的关联，那么新知识就无处“停靠”。这种学习是无效的，教学也是失败的。因此，切实有效的教学设计需要深化学生的数学理解，丰富学生的数学思想，最终实现育人目标。

经验理解是数学理解的起点，从学生的生活经验和已有学习经验出发，更容易激活学生学习数学知识的内驱力，降低其对知识的陌生感。对于学习主体来说，表象理解培养学生提取和概括知识的能力，促使其生成对新知识的基本认识。而联系理解如同一条“纽带”，将新旧知识串联起来，扩充学生的知识网络。最重要的是，这条“纽带”是由师生共同编织的，汇聚了教师的教与学生的学，十分具有价值。应用理解是必要且不可或缺的，判断学生是否掌握知识，最直观的方式就是看其是否能应用知识解决问题，因为学习知识不是目的，更重要的是会迁移、会应用。思想理解是数学理解的最高层次，学生只有感受到数学的魅力，领悟数学思想的伟大，体会数学思维的巧妙，才能自发地以数学的眼光探究和解决问题。

因此，教师需要合理安排教学活动，层层递进，逐步提升学生的数学理解，发展他们的数学思维，从而事半功倍地实现育人目标。

［ 参 考 文 献 ］

[1] SKEMP R. The Psychology of Learning Mathematics[M].Harmondsworth， Eng： Pnguin Books，1971.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[3] 张大均，教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2015.

（责编 金    铃）