抽象、推理与模型：指向“三会”的小学数学作业设计策略

［摘 要］“三会”对应数学素养发展所依赖的抽象、推理与模型三大基本思想，既是数学活动的基本形式，也是形成核心素养的精髓。数学作业设计作为数学学习活动的重要组成部分，同样聚焦“三会”的数学抽象、数学逻辑、数学建模这三大数学基本思想，以涵育学生的数学眼光、数学思维和数学语言，促进学生数学核心素养的形成与发展。

［关键词］作业设计；“三会”；基本思想;核心素养

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2025）05-0006-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程目标中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）。“三会”对应着数学素养发展所依赖的抽象、推理与模型三大基本思想，它们既是数学活动的基本形式，也是培养学生数学核心素养的精髓所在。作为数学学习活动的重要组成部分，数学作业设计同样应聚焦这三大数学思想——数学抽象、数学逻辑和数学建模，旨在培养学生的数学眼光、数学思维和数学语言。下面笔者结合作业设计，分享几点体会与思考。

一、感悟抽象思想：设计观察型作业，涵育数学眼光

抽象是舍弃事物的非本质属性，提取其本质特征的思维过程。数学抽象思想指的是用数学的视角对数量关系和空间形式进行抽象的观察方式，主要体现在数学抽象和直观想象两种核心素养上，是数学眼光的具体体现。观察是抽象和想象的重要前提，设计观察型数学作业能够引导学生参与数学抽象和直观想象等活动，从而在感悟抽象思想的过程中涵育数学眼光。设计观察型数学作业时，应引导学生用敏锐的眼光审视数学问题，使问题的观察方式多元化，既要从题组模块中“看到”数学的本质，又要从数学关系中“想到”现实中的例子，让学生在感悟抽象思想的过程中涵育数学眼光，进而形成和发展数学核心素养。

（一）以题组揭本质，“举三反一”促抽象

所谓“举三反一”，是指将数量关系相同或结构特征相近的一组作业集中呈现，形成结构化题组模块，使学生在对比观察、异中求同中抽象概括出题组模块的数学本质。教师应具备“控量提质”的意识，重视结构化学习，精心设计数量少、张力强的结构化题组作业，带领学生展开观察与分析，揭示一般性的数学公式或数量关系，从而发展学生的抽象概括能力。

例如，教学西师大版教材五年级下册“列方程解决实际问题”时可设计如下题组模块作业（见表1）。

观察与思考：以上各题之间有哪些相同点和不同点？你能用简约的数学符号语言表示它们之间共同的等量关系吗？

上述题组通过表格的方式简洁明了地将等量关系式相同、结构特征相近的三道作业题集中呈现。学生通过观察与分析，能够“分”出由于所求问题不同，未知数在方程中的位置也不同；“析”出等量关系式“工作效率之和×合作完工时间=工作总量”的一致性。对于用简约的数学符号语言表达这等量关系式，有的学生用数学图形“（□+□）×□=□”来表示，有的学生用字母符号“（a+b）×c=d”来表示。至此，学生能够透过题组看见数学本质，在具身认识中逐步抽象出列方程解决工程问题的通性与方法，从而实现从练习一组题到掌握一类题的跨越，体悟数学的高度抽象性，发展符号意识和模型意识。

（二）由关系及事例，“举一反三”显直观

所谓“举一反三”，是指设计由某一抽象数学关系推及相关现实情境的作业，激发学生同中求异的思维方式。教师应具备“由果及因”的思维活动意识，重视逆向思维的训练，积极提供数学基本关系，让学生从抽象到具体进行反向观察与直观想象，领悟这一简单的数学关系蕴藏着丰富的数学故事，从而发展直观想象能力。

例如，教学西师大版五年级下册“列方程解决实际问题”时可设计如下作业：

你能根据（a+b）×c=d这个等量关系式，编一道解决不同情境的现实问题吗？

该作业是一个开放性问题，学生根据（a+b）×c=d这一等量关系式，通过情境联想将解决工程问题的一般性情境进一步拓展到其他现实问题，如打印书稿、生活购物、公路修建等。

（1）小明和小华合作打字，一本70页的书稿需要7小时。已知小华每小时完成6页，小明每小时完成多少页？

（2）学校购买30套衣服，总共花费12000元，已知每条裤子150元，上衣每件多少元？

（3）甲、乙两队同时修建一条长300千米的公路，15天完成。甲队每天修11千米，乙队每天修多少千米？

学生将工程问题中蕴含的一般性数量关系，通过举一反三的拓展与迁移，回归到现实生活中的各类问题，寻找到多角度、多元化的现实原型，从而形成更为丰富、开放和广泛的认知结构。这个作业将数量关系应用于现实情境，既深化了学生对这一数量关系本质的理解，又发展了学生用联系的视角观察问题的数学眼光，渗透了事物普遍联系的哲学思想。

二、感悟推理思想：设计思考型作业，涵育数学思维

推理是数学思维的核心方式，主要包括合情推理和演绎推理。数学推理思想是指通过数学思维对客观世界进行科学严谨的逻辑推理，是数学思维的重要体现。思考是推理的基础，设计思考型数学作业可以引导学生经历数学思维的全过程，帮助他们感悟推理思想，这是培养数学思维的有效途径。设计思考型数学作业时，应引导学生用缜密的思维方式分析数学问题，并将解决问题的思考过程可视化，既要从感性笔算拓展到理性推算，发展合情推理，又要从抽象把握拓展到直观解释，发展演绎推理，让学生在感悟推理思想的过程中涵育数学的思维，进而形成和发展数学核心素养。

（一）变笔算为推算，以“转化思维”促推理

所谓“转化思维”是指利用作业中蕴含的内在关联元素进行转化，并开展推理的一种数学思维方式。教师应具备整体关联意识，设计具有内在关联性的数学元素，引导学生凭借经验和直觉对其内在关联进行大胆推断和猜想，通过特定的转化思维创造性地解决问题，发展合情推理意识。

例如，教学苏教版教材三年级下册“三位数乘两位数”时可设计如下作业：

根据34×21=714，不用笔算，你能直接推算出68×21和34×31的结果吗？思考：这三个算式之间有什么联系？你是怎样推算出结果的？在什么条件下，可以根据其中一个推算得出另一个的结果？

这三个算式看似独立，实则存在关联。学生通过经验和直觉发现34×21与68×21这两个乘法算式中，因数21相同，另一个因数68是34的2倍，因此可以推断出68×21的积是34×21的积的2倍；而34×31的积比34×21的积多10个34。学生通过转化思维进行推算，68×21=（34×2）×21=（34×21）×2=714×2=1428；34×31=34×（21+10）=34×21+34×10=714+340=1054。可见，学生通过观察、比较和分析，挖掘出了两个算式中因数的特定关系，并利用积的变化规律和乘法分配律展开推理计算，从而发现只要两个乘法算式之间存在内在关联，就可以通过推算得出计算结果。这样，从感性笔算拓展到理性推算，由具体到一般，不仅发展了学生的推理意识和运算能力，还渗透了数学的转化思想。

（二）变抽象为直观，以“形象思维”助推理

所谓“形象思维”是指借助具体可感的直观图形、实物或操作进行分析推理的一种数学思维方式。教师应具备直观具象意识，发挥学生直观形象思维的优势，设计将一般抽象概念转化为具体直观情形的演绎推理作业，引导学生运用特定的形象思维来解释和说明内在的一般规律，助力学生发展演绎推理意识。

例如，教学苏教版教材三年级下册“三位数乘两位数”时可设计如下作业：

用多种方法算出38×126的结果，并画图解释你的想法。

完成此作业时，学生的思考方式主要有以下几种：①38×126=30×126+8×126=4788；②38×126=38×100+38×20+38×6=4788；③38×126=40×126-2×126=4788。对于方法②，有的学生运用乘法分配律，将38×126看作38×（100+20+6），再根据乘法分配律将其分解成38×100+38×20+38×6后再计算；另一些学生则结合长方形面积模型进行直观解释（如图1），左边长方形的面积是38×100，中间长方形的面积是38×20，右边长方形的面积是38×6，合起来的面积即为38×126。学生通过直观可见的长方形模型解释算式，不仅更好地理解了算式的含义，实现了思考方式的可视化，还展现了从抽象到具象的演绎推理过程。通过这种方式，学生自然且深刻地体会到数学推理的严谨性，发展了推理意识、几何直观和运算能力，同时增强了循证意识。

三、感悟模型思想：设计表达型作业，涵育数学语言

数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言表征研究对象特征或关系的一种数学结构。数学模型思想是指用数学语言描述现实世界的一种表达方式，是数学语言具体应用的体现。表达是建模的核心方式，设计表达型数学作业，引导学生参与描述和交流等数学活动，帮助他们感悟模型思想，是培养学生数学语言的重要途径。在设计这类作业时，应引导学生用简洁的数学语言表达思考过程，并且数学问题的表达方式应多样化：既能让学生通过从单纯求解到构题描述的转变来感悟数学模型，又能从关系理解到直观表达的过程中建构数学模型，让学生在感悟模型思想的同时提升数学语言能力，从而促进数学核心素养的形成与发展。

（一）变求解为构题，以“数学化表达”悟模型

所谓“数学化表达”是指利用数学语言发现并提出数学问题，将生活中的问题转化为数学问题的过程。这一转化是感悟数学模型结构的逻辑起点。教师应具备问题生成意识，引导学生经历将现实问题转化为数学问题的过程，深化学生对关键信息的观察、思考、发现与描述，从而感悟数学模型的基本结构，进而发展模型意识。

例如，教学西师大版教材三年级下册“归一问题”时可设计如下作业：

三位好朋友一起来到古田圣地游客中心购买同一款式的红色之旅纪念品“小红军吹号”。李明买了2个花费30元，张平买了3个，王峰付了75元。

（1）思考与解答。①张平花费多少元？②王峰买了多少个？

（2）思辨与描述。解决以上两个问题的思考过程有什么相同点和不同点？

在“思考与解答”部分，学生能够理解“先求单价，再求购买3个的钱数或75元能买几个”的解题过程。但如果仅停留在求解层面，难以帮助学生建立“归一问题”的求解模型，因此，笔者专门设计了“思辨与描述”任务。学生通过描述与交流，发现这两个现实问题的解决过程都需要先算出“每份数”，不同点在于，前者属于求总量的“正归一”问题，后者属于求数量的“反归一”问题。这一设计强化了学生对“归一问题”数学模型基本结构的感悟。如此，通过思辨与描述突破单纯求解，学生能够经历数学问题的再创造过程，清晰地区分“归一问题”的两类题型，强化“每份数”在“归一问题”中的桥梁作用，进一步体会数学应用的广泛性，发展模型意识和应用意识。

（二）变理解为表达，以“直观化表达”建模型

所谓“直观化表达”是指利用图形、图像或图表等手段，描述数学模型结构的一种表达方式。受认知规律和思维水平的限制，小学生通常需要借助图式语言来理解模型结构。教师应具备图式表征意识，充分利用图式语言的形象性，设计运用图式语言进行直观表达的作业，使学生在切身体悟中建构数学模型，进而发展学生的模型意识。

例如，教学西师大版教材三年级下册“归一问题”时可设计如下作业：

暑假到了，小明计划阅读世界名著《海底两万里》。前3天他一共看了60页，如果照这个速度继续看，6天一共可以看多少页？（先画图，再解答）

学生的想法主要有以下两种。

这两种解法在思路上有所不同，但本质上都是先求出“每份数”，再算出“总数”。如此设计，通过直观表达帮助学生理解数学问题的关系，有助于学生直观地体会到“归一问题”的多样化表达，从而深入建构“归一问题”的求解模型，发展模型意识和几何直观等数学核心素养。

指向“三会”的小学数学作业设计，应以发展学生核心素养为目标，重视观察型、思考型和表达型作业的设计，让学生在完成作业的过程中感悟数学基本思想，形成数学眼光、思维和语言，进而发展数学核心素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 栾庆芳，朱家生.数学情境教学研究综述[J].数学教学通讯，2006（3）：1-4.

[2] 洪燕君.基于义务教育数学课程标准的核心素养的理解与实施：访谈史宁中教授[J].数学教育学报，2023，32（3）：64-67.

[3] 钟世文.加强数学推理 彰显运算本质：以“三位数乘两位数”的拓展练习为例[J].福建教育，2021（27）：52-53.

【本文系福建省教育科学“十四五”规划2023年度“协同创新”专项课题“核心素养导向下小学数学大单元作业设计实践研究”（Fjxczx23-126）研究成果。】

（责编    金    铃）