位值制记数的演变之势、呈现之形、教学之道

作者: 郑扬卓 陈泓霖 丘杭娜

位值制记数的演变之势、呈现之形、教学之道0

[摘 要]位值制记数作为数学计算的基础,其从最初的简单计数到现代完善的计数系统的演变过程,反映了数学符号和计数方法的逐步发展,对数学运算具有重要意义。教师应在“数的认识”教学中,立足讲通位值制记数的原理;在“数的运算”教学中,注重引导学生把握算法的本质,帮助学生理解运算规则和算理;在教学过程中,适当拓展数学史素材,让学生了解位值制记数的历史背景和演变过程,增强学生的学习兴趣和文化自信。

[关键词]位值制记数;演变之势;呈现之形;教学之道

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2025)05-0052-03

“数与运算”是小学数学数与代数领域的重要主题,是学生学习数学知识的重要奠基。位值制记数作为“数数”活动最早的思想方法,能够帮助学生在从数量到数的形成过程中,理解算理、掌握算法,体会运算本质上的一致性。

一、位值制记数的演变之势

位值制记数的演变反映了人类对数学认知的深化。中国的记数方法源远流长,最早可追溯到旧石器时期。起初,人们通过手指、小石头、竹片等实物进行记数,随后逐渐发展为结绳记数和刻痕记数。记数的本质在于一一对应和不断累加,但随着对数需求的增大,简单的“加1”方式变得低效,因此需要发展出更为简洁和实用的记数方法 。古人在寻找简便记数的过程中发挥智慧,形成了用算筹表示数的方法,这是位值制记数的早期形式。在最初使用算筹表示数时,0用空位替代;后发展出专门符号“0”,标志着十进制计数法的完善。从甲骨文的十进累加法到算筹的十进位值制,均采用了将大数视为新计数单位的方法,使不同单位对应不同位置,从而允许大数由较小数和计数单位组合来表达,使计数的过程具有简化性和包容性,进而促进了数学运算的发展。

通过分析位值制记数的演进,可以发现人类记数活动的发展主要体现在两个方面:一是记数符号的演变,从实物符号到象形符号,再到抽象的数学符号;二是记数方法的进步,从非进位制到进位制,从非位值制到位值制 。进位制是数学的基本概念之一,其含义是“累计若干个基本单位即形成下一个单位”,它允许用有限的计数单位表示无限大的数。位值制则是由进位制概念进一步发展而来的概念,其含义是“数字的大小不仅取决于它本身,还取决于它所在的位置”,即数字所在的位置表示其计数单位对应的倍数。这种记数规则极大地简化了记数过程,提高了数学运算的效率,使得记数过程更加简洁和包容 。位值制解决了非位值制中的问题,且保留了进位制的核心——计数单位。因此,记数活动的本质在于计数单位的再创造过程,将生活中的大数抽象为简洁的符号以适应需求,由进位制的生成到计数单位的叠加产生的位值制,正说明位值制记数具有迎合时代发展的普适性。

二、位值制记数的呈现之形

位值制记数在教材(人教2022年版)中的呈现较为清晰,属于“数与代数”领域中有关数与运算主题的内容,主要包括整数、分数、小数的算理认识及三者在四则混合运算中的算法掌握。通过整理与记数相关的教材内容(见表1)时发现,数学史是教材内容的拓展难点。教材在编排一些认识数学符号与掌握运算算法的内容中,会插入有关的数学史信息。

教材关于介绍数字1~9、数概念与运算一致性的内容中,编排了相关记数符号及位值制的数学史内容,在介绍十进制计数法后,编排了计数器、算盘相关数学史内容。这些数学史内容都是围绕数学符号和运算展开的。

三、位值制记数的教学之道

通过解读《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课程标准》)中关于第一、第二、第三学段“数与运算”的教学要求以及对教材相关内容呈现的分析,发现这些都与记数活动密不可分。根据教学要求,第一学段时,学生主要学习数的认识和理解记数符号,并且要通过从非进位制过渡到进位制的阶段,理解进位制对数数活动的重要性及简化性;第二、三学段的学生在认识亿以内的大数之后,系统了解十进制及位值制,从而把握位值制记数的本质,并在数的运算中建立整数、分数及小数之间一致性的认知,感悟计数单位在其中的作用。这三个学段的教学离不开记数活动,教师需要梳理记数的历史演进,并将其与教材中的数学史内容相结合,帮助学生更好地把握数学知识的脉络。

(一)在“数的认识”中立足讲通原理

《课程标准》在教学建议中指出,教师在教学中要帮助学生强化对数学本质的理解,关注数学概念的现实背景,引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发,建立起有意义的知识结构。在数的认识中,计数单位既是算理也是算法,学生通过基本的数数活动认识数字1~9,从一个一个地数到认识计数单位,经历从生活情境中抽象出数字符号的过程。在学生认识“10”这个数的过程中,由于之前的学习中并没有出现0,如何帮助学生认识“0的作用”是关键。此时,可以引入数学史的内容,古代数学家数完1~9的数字后又从1开始数,但为了避免与数字1混淆,便用0来占位,此时数字1进位至十位上,说明已经数完一轮1~9个数字,用“10”这个符号来表示“十”,含义是1个“十”,形成新的记数方式,即用十来做计数单位。这样可以让学生感悟位值制记数的简便性。因此,立足数学史来讲解数字原理,让学生深度学习数学本质,体会数学学习的乐趣是必然之道也是应然之道。

(二)在“数的运算”中把握算法本质

《课程标准》在教学建议中指出,在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系,还要让学生了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义。学生对算理的掌握更多的是通过在前经验的认知基础上运用运算律或者等式的基本性质对计数单位进行重组与分配;对算法的理解则是在算理的基础上对计数单位进行加、减、乘、除得到运算结果。从数的组成角度来看,整数、分数和小数都是基于“计数单位”这一基本概念构建的。在学生认识“10”这个数后,教材主要围绕计数单位“十”的加减法简便运算编排教学内容,这本质上是对整数计数单位个、十、百、千等的再运算过程,也是数的运算算法的体现。当迁移到小数的运算时,计数单位就换成十分之一、百分之一、千分之一等;迁移到分数的运算时,计数单位则是几分之一。虽然分数与整数、小数的计数单位不同,但寻找最小公倍数进行通分化为相同计数单位的过程就是为了寻求进制倍数,这本质也是计数单位的再运算,体现了算法的一致性。在这个过程中,教师需要对教材进行整体解读,通过引导学生对算理进行把握,帮助学生利用数概念的一致性和运用多样化的算法解决问题。

(三)在数学史中挖掘素材

数学承载着思想和文化,通过探究记数的算理和算法发现,若要在教学中渗透数学的本质内涵,离不开对数学史内容的挖掘与探索。教师在教学过程中,应从数学史的角度出发,对位值制、十进制、计数单位等关键概念进行阐释,以助学生深入理解这些概念的本质。拓展数学史素材的关键在于结构化整合,在数学符号的意义、进位制、位值制及计数单位运算的教学中,注重情境设计,可以穿插一些与数学史相关的故事和案例,关注数学学科发展前沿与数学文化,这样有利于学生理解、掌握“四基”,发展“四能”,体会数学家的精神。教学素材的积累不是一朝一夕可以完成的,而是一个长期渗透的过程。教师应注重在课前、课中、课后引导学生自主学习数学史,鼓励他们通过查阅资料来深入了解数学史的发展过程,从而培养学生的自主学习能力和探究精神。最重要的是,教师需要注重教材中所呈现的数学史内容,将数学史内容与记数活动相结合,融入教学之中,以此拓展学生的数学思维。

综上所述,位值制记数作为小学数学教学的核心内容,以及数学符号认知、数运算与进位制等基础知识体系的重要组成部分,对学生理解“数数”活动简化形式有深刻的影响。这一方法作为“数与运算”主题下的核心思想方法,既有助于学生理解从数量到数的形成过程,更能让学生深化对算理的理解、掌握算法,并体会运算本质上的一致性。通过立足讲通算理、把握算法本质和拓展数学史素材等教学策略,教师可以帮助学生深入理解位值制记数的本质内涵,掌握正确的数学知识和运算方法,并提升他们的数学素养和综合能力。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陈清华,徐章韬.数学史下的“进位制”教学的算法实现[J].中学数学,2013(21):61-65.

[2] 郜舒竹,罗玉晓,王璐佳.十进制:计数,还是记数?[J].教学月刊小学版(数学),2023(Z2):4-9.

[3] 林采露,黄健.“用教材教”,让数学史真正融入数学课堂:基于记数法的数学史分析[J].小学教学(数学版),2019(3):41-42.

[4] 卜俊.在计数与记数活动中体会数学思想:《认识11—20各数》教学与思考[J].教育研究与评论(小学教育教学),2022(12):80-84.

[5] 张丹,巩子坤.记数制:讲好中国与世界的文化故事[J].小学数学教师,2022(2):80-87.

[6] 岳增成,文萍.中华优秀传统数学文化融入小学教学的策略[J].新教师,2023(2):48-50.

[7] 巩子坤,张丹,陈影杰.论数的概念与运算的一致性之一:数的概念的一致性[J].小学数学教师,2022(Z1):163-170.

[8] 巩子坤,史宁中,张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角:数的概念与运算的一致性[J].课程·教材·教法,2022(6):45-51,56.

(责编    李琪琦)

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