试论高中数学作业的设计策略

摘  要  作业是课堂教学的延续，是学科课程实施的重要组成部分。要解决当前高中数学作业的“繁重”与“低效”问题，教师应结合学生的实际情况，设计个性化作业，积极尝试探究性作业、实践性作业，训练学生的解题能力，锻炼学生的动手能力。

关键词  高中数学；作业；课堂教学；课程改革

中图分类号  G633.6

文献标识码  A

文章编号  2095-5995（2023）10-0060-03

作业是学科课程实施的重要组成部分，随着“双减”政策的落地实施，作业设计与管理成为基础教育课程改革的重要领域。在高中教育阶段，作业时间占据了学生学习生活的“半壁江山”，如何改革作业的“繁重”与“低效”问题，已经成为高中教师不得不面对和解决的难题。本文以高中数学为例，探讨个性化作业的设计策略，以更好地吸引学生高效完成作业，理解和掌握所学的数学知识。

一、结合学生实际情况，设计个性化作业

（一）合理设计趣味作业，吸引学生主动完成

兴趣作为力求认知、探究某一事物的心理倾向，也是人们对待客观事物的一种内在选择性与趋向性。[1]在高中数学教学中，为实现个性化作业的有效设计，教师需要围绕具体教学内容合理设计一些趣味性的数学作业，转变以往枯燥、乏味的作业内容与形式，引发学生在课后继续学习数学的兴趣，从而主动完成数学作业，促进思维能力的发展。

例如，在实施“二项式定理”教学时，教师可以先布置这样一道题目：

证明：C1n＋2C2n＋3C3n＋……＋nCnn＝n2n-1.

这道题目能够考查学生对公式kCkn＝nCk-1n-1的理解和运用情况。也就是说，学生运用该公式完成作业的过程能反映出他们对数学归纳法的掌握情况。当学生了解这一题目的本质以后，教师在后续作业设计环节应当围绕相关的解题方法进行适当的拓展，为作业增添一些趣味性。例如，（1）2C1n+3C2n+4C3n+……+（n+1）Cnn的值；

（2）已知等差数列{an}，请求出a1C1n＋a2C2n＋a3C3n＋……＋anCnn的值。

教师要鼓励学生结合所学知识解析题目，吸引他们主动完成。如此，教师通过对现有知识内容的适当升级与作业设计的有效延伸，为学生提供了广阔的自主思考空间，使其切实体会到在不同题目中运用同一解题方法完成数学作业的乐趣，感受到数学学习的趣味性。

（二）科学设计梯度作业，兼顾整体教学对象

从高中数学作业设计与实施的效果来看，有效设计的个性化作业，不仅可以满足不同学生的实际学习需求，提升学习效率，还有助于学生对所知识的深入理解、掌握与运用。针对目前高中多采取以行政班为基本单位的教学组织方式，教师应科学设计梯度性作业，即将作业分为基础型、发展型与挑战性三个层次，让学生能够根据个人能力找到适合自己的作业，以此兼顾整体教学对象的发展需求。

例如，在开展“椭圆”教学时，教师可按照班内学生实际学习情况与认知水平的差异设计梯度性作业。具体来说，基础型作业主要要求学生理解与记忆椭圆的基本性质，能运用椭圆的表达式来计算短半轴与长半轴的长度；发展型作业要提升难度层次，除考查基础知识以外，还需重点考查学生对椭圆基本形式的运用情况，如椭圆的弦同椭圆的一个焦点构成的三角形的周长，已知直线和椭圆之间的交点坐标，求出相应的椭圆方程等；挑战型作业考查学生对椭圆特征的综合应用情况，如求直线和椭圆相交情况下，焦点同交点所构成的三角形面积，判断椭圆和直线的位置关系等。这样的作业设计能确保各个层次的学生找到同自身实际相契合的作业，有助于学生在知识与能力方面均获得一定程度的提升。

（三）注重知识巩固延伸，适当丰富作业内容

在设计个性化作业过程中，高中数学教师应关注知识的巩固效果以及难度延伸，适当地拓展作业范围，丰富作业内容，设计一些开放性的作业，鼓励学生积极完成这些作业，帮助他们深入理解与掌握数学知识。[2]例如，

在“直线与圆、圆与圆的位置”教学实践中，教师在布置作业时可以通过分类的方式设计不同类型的题目。

题型（1）：直线和圆的位置关系。已知点M（a，b）在圆O：x2＋y2＝1的外面，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是（  ）

A.相切  B.相交  C.相离  D.不确定

题型（2）：圆和圆的位置关系。已知圆O：（x＋2）2＋y2＝4，同圆O′：（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系是（  ）

A.内切  B.相交  C.外切  D.不确定

题型（3）：直线与圆的综合问题。直线x－y＋3＝0同圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长是2，求圆C的方程；设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与丨MQ丨的比值为常数k（k＞0），假设动点M的轨迹为一条直线，请确定k的值，且求出该直线的方程.

这样的作业设计丰富了作业内容，能帮助学生巩固所学知识，锻炼他们的思维能力。

二、设计探究性作业，训练学生解题能力

（一）设计独立完成作业，发展学生自主学习与探究能力

高中数学新课程标准特别关注对学生探究能力的培养。在以往的高中数学教学中，无论是作业内容、还是形式都较为单一，在一定程度上影响学生完成作业的积极性，不利于学生自主学习能力与探究能力的发展。为此，高中数学教师在具体的作业设计环节中，应当结合教学实际设计一系列具有探究性的作业，鼓励学生独立完成这些作业，从而提高学生探究数学奥秘的热情，促进数学思维及自学能力的发展。

以“立体图形的直观图”教学为例，本节课主要学习一些平面图形图空间几何体的直观图画图，这是学习好立体几何知识的关键条件。通常，教师在课堂上主要介绍最常用的、直观性好的斜二测画法。此外，教材中也给出一些常见几何图形的直观图画法。在作业设计环节，教师可以要求学生从家庭或者教室中寻找一些适当的几何体，研究这些几何体主要是由哪些基础几何体构成的，并自主画出几何体的直观图。有的学生会选择冰激凌筒这一圆锥图形绘制直观图，具体步骤如下：

利用斜二测画法画圆锥的底面，如图1所示；画z′轴（z′轴过O′点，且与∠x′O′y′的平分线的夹角为90°），并画高（与原长相等），连线成图，如图2所示；擦去辅助线，将被遮住的线画成虚线，如图3所示。当学生自主完成画图作业以后，教师可以组织学生相互批改，找出对方所画直观图的优点与不足之处，使其牢固掌握斜二测画法。

（二）设计小组合作作业，提高学生协作意识

在高中数学教学中，对于个性化作业的设计，教师除布置一些由学生独立完成的作业外，还要关注学生之间的交流与互动，通过设计合作型作业，帮助学生更为深入地理解数学知识。这就要求高中数学教师在平常教学中根据所授内容设计相应的合作型作业，引导学生通过小组合作完成探究作业。在此过程中，学生之间一起讨论、交流与互动，提出各自的看法与见解，在互帮互助中高效地完成作业，培养了协作意识，通过团队力量实现个人能力的发展。

例如，在“集合”教学中，当学生学习完集合的概念、集合间的基本关系与集合的基本运算等知识以后，教师可以布置一些有关集合的合作型作业，如“本班学生的书包中铅笔是否能够构成一个集合？”从而引导学生结合所学知识展开小组合作学习。学生发现每个人书包中的铅笔具有确定性，即为本班同学的书包中的铅笔，并非其他班级同学书包中的铅笔；而互异性则体现在本班每位同学书包中的铅笔，是相互独立存在的，都是不同的铅笔；如果按照顺序排列，无论哪位同学先拿出或者后拿出自己书包中的铅笔，虽然顺序不同，但是元素一样，即本班所有同学书包中的铅笔组成的一个集合。随后，教师可以要求学生完成班级内学生身高、体育运动爱好、生日月份的集合设计，使其通过合作交流，一起完成这些作业，培养学生的团队精神。

三、设计实践性作业，培养学生解决实际问题的能力

（一）精心设计调查作业，提升学生的数学知识运用能力

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确提出要“丰富作业的形式，提高作业的质量，提升学生完成作业的自主性、有效性”[3]。教师应摆脱以往课内作业与书面作业等形式的束缚，敢于突破原有作业时间与空间的限制，布置调查类课外实践性作业，要求学生根据所学知识调查一些生活中的数学现象，通过记录、分析和研究，引导学生发现数学原理，从而强化数学理论知识与实际生活之间的联系，锻炼学生解决实际问题的能力。

比如，在进行“等式性质与不等式性质”教学时，为让学生准确运用不等式或者不等式组表示实际问题中的不等关系，使其进一步感受现实世界与日常生活中存在的不等关系，教师可以设计调查作业，要求他们调查一些身边或者生活中的不等关系，且用不等式或不等式组进行表示。学生会根据作业要求积极调查现实生活中存在的不等关系，如：（1）某路段限速60 km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（5）夏季某天气温高于37摄氏度，十分炎热；（6）某座桥可以通过车辆的重量小于等于50 t；（7）某家餐馆晚上每天最多可预约50个座位……学生通过对具体情景的描述，写出相应的不等式，有助于进一步了解数学建模思想，增强数学应用能力。

（二）善于结合日常生活，突出作业实用价值

数学知识本身就与现实生活有着十分紧密的联系，如数学教材中蕴涵着不少生活化元素，而生活中的数学现象及问题更是广泛存在。在高中数学教学中，作业是不可或缺的一个重要环节，教师设计作业时同样要注重结合日常生活。具体来说，高中数学教师需要把握教学内容与生活之间的联系，并以此为切入点，有效设计个性化的生活性作业，要求学生在深入生活实践中完成作业，使其体会到数学知识的实用价值，促使学生真正做到学以致用。

例如，“频率与概率”一课的教学是在古典概型的基础上，引导学生研究与归纳频率和概率的关系，学习利用随机模拟来产生随机数，继而利用频率来估计概率。教师可以结合日常生活中某些事件发生的频率与概率，设计相应的作业内容，辅助学生进一步学习随机事件发生的频率与概率问题，增强他们的数学认知能力与思维水平。教师可以设计这样一道作业题目：

小明和小刚玩一个游戏，他们同时掷两个骰子，若两个骰子上的点数之和为7，则小明获胜；否则，小刚获胜。在10次游戏中，小明获胜的概率是多少？

解析：根据骰子的性质，掷两个骰子出现的点数之和的可能性有36种，其中，点数之和为7的情况有6种，分别是（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）。因此，在10次游戏中，小明获胜的情况有6种，总共有36次掷骰子的机会，故小明获胜的概率为6/36＝1/6 ≈ 0.1667，所以说在10次游戏中小明获胜的概率约为0.1667。

教师结合实际生活中的掷骰子游戏设计实践性作业，能有效激发学生做作业的兴趣，使其在完成作业过程中了解概率计算的方法，深化理解频率与概率的关系。

总之，对作业进行合理化设计是基础教育“减负提质”的必然要求，也是满足学生个性化学习需求、促进学生全面发展的有效途径之一。作为高中数学教师，应根据教学内容，为学生设计多元化的作业，释放学生的学习潜能，培养他们的思维能力，不断提升学生的数学素养，实现可持续发展。

（占金金，安徽省无为第一中学，安徽  芜湖  238399）

参考文献：

[1] 刘李霞.探讨“双减”背景下初中数学课后作业的创新设计[J].求知导刊，2022（29）：29-31.

[2] 吴小明.高考评价体系下基于核心素养导向的高中数学作业设计策略[J].高考，2023（1）：42-44.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2022：83.

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