“因式分解”教学的基本策略

【编者按】初中数学“因式分解”内容的教学，常常局限于让学生掌握提公因式法和公式法这两种因式分解的方法。怎样让学生理解因式分解的意义与价值？怎样引导学生认识因式分解方法的外在来源和内在关系、操作步骤和使用要领？怎样更好地训练因式分解的变形能力？本期《专题研究》栏目，呈现两篇“因式分解”教学研究的文章。第一篇整体分析“因式分解”的有关内容与学习心理，给出了教学的基本策略。第二篇基于“因式分解”教学的基本策略创新思考，设计了“公式法”教学的完整过程。

摘 要：因式分解是整式乘法的逆向变形，没有普适的方法。初中数学“因式分解”内容的重点是多项式因式分解与整式乘法的互逆变形关系，因式分解的提公因式法、公式法等；学习的难点是在具体多项式中辨别可以逆向应用分配律、乘法公式的结构，用换元思想从多项式中分离出代替公式中字母的整式；教学策略有：基于整式除法抽象因式分解概念，类比因数分解提出因式分解问题；从整式乘法的逆向变形中抽象因式分解的方法；通过适当的训练形成因式分解的技能。

关键词：初中数学；因式分解；单元教学；抽象方法；训练技能

作为初中数学的重要教学内容，因式分解是整式乘法的逆向变形，也是研究多项式的整除性、多项式方程的解和分式运算的基本技能。研究因式分解的教学策略，帮助学生理解因式分解的算法和算理，优化因式分解技能训练的方法，对发展学生的抽象能力和符号运算能力，以及逆向思维能力，具有重要的现实意义。

一、 “因式分解”内容的深度分析

研究自然数的整除性，离不开因数分解；研究分数的运算，更要基于整数的因数分解进行通分和约分。类似地，研究F［x］中多项式的整除性和Г［x］中式子的四则运算，离不开因式分解。

多项式的因式分解与其根有密切联系。F［x］中的n次多项式f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn有根p的充分必要条件是这个多项式能写成如下形式：f（x）=（x-p）g（x），其中g（x）是n-1次多项式——由此，可以降次研究多项式。因此，不仅可以通过因式分解研究多项式的根，也可以根据多项式的根进行因式分解。在高斯证明n次复系数多项式必有一个复数根的基础上，利用因式分解与根的关系，可以得到n次复系数多项式必有n个复数根（包括重根），并且可以进一步推出实系数多项式的复数根成对出现，实系数多项式中不可约多项式只有一次式和没有实数根的二次式。

由于没有适用于所有多项式的因式分解普适方法，因式分解本质上具有技巧性，其基本的思考方向是尝试验证（猜想因式并通过综合除法验证）和根据整式乘法与多项式因式分解之间的互逆变形关系对特殊结构的多项式进行因式分解（如提公因式法、公式法、十字相乘法、待定系数法等）。

回到初中阶段学习的因式分解，可以借助自然数乘法与因数分解之间的互逆变形关系，理解整式乘法与多项式因式分解之间的关系。类似于自然数的质因数分解，多项式可以分解为若干个不可约多项式的幂的积的形式；类似于两个自然数有最大公因数和最小公倍数，两个多项式有最大公因式和最简公倍式——它们分别是分式约分和通分的基础。初中阶段的因式分解教学首先要让学生了解多项式的因式分解是自然数因数分解的发展，体会数式通性，形成对未来的分式运算、分式方程、一元二次方程以及多项式理论学习具有支撑意义的结构化知识体系。

初中阶段，由于课标对整式乘法只要求掌握一次式乘一次式和一次式乘二次式，因此，因式分解以提公因式法和公式法为主，涉及简单的十字相乘法。其中，提公因式法是单项式乘多项式的逆向变形，公式法是关于整式乘法的平方差公式、完全平方公式的逆向应用，十字相乘法则是一次式乘一次式（ax+b）（cx+d）=acx2+（ad+bc）x+bd的逆向应用。显然，因式分解的依据仍然是运算律。初中阶段的因式分解教学是数学方法（策略）的教学，要着重让学生掌握方法，形成技能。

此外，初中阶段学生学习的数域是有理数域和实数域。为降低因式分解学习的难度，一般在有理数范围进行。当然，也需要经历一些简单的实数范围的因式分解活动——实际上，实数范围的因式分解主要体现在一元二次方程的根与因式分解的联系上。

总之，“因式分解”内容的重点是：多项式因式分解与整式乘法的互逆变形关系，因式分解的提公因式法、公式法等。概括多项式因式分解与整式乘法的互逆变形关系，抽象提公因式法、公式法和十字相乘法的过程中蕴含发展抽象能力的育人价值，训练因式分解技能的过程中蕴含发展符号运算能力的育人价值。

二、 “因式分解”学习的心理机制

从心理学的角度看，因式分解是一种逆向思维，即克鲁捷茨基认为的“数学推理中思维过程的可逆性”在符号运算和变形活动中的体现［1］。同时，因式分解是方法学习和技能训练，与大脑的执行功能相关。所谓“执行功能”，是指大脑在动荡或未知的环境中调控行为的能力，这种调控是在目标导向下把总目标分解成分目标，整合技能和意志调控行为，形成指向分目标、最终达成总目标的行为反应序列。大脑的这种执行能力产生于幼儿期，发展于青少年期，成熟于成年期。青少年时期，是执行功能发展的“学徒阶段”。这一阶段，是技能导向的，即以解决问题为目标，整合技能和意志，调控行为。而调控行为的过程本质上是执行规则、抑制无关反应［2］。

在因式分解的过程中，既要回顾和执行公式，又要抑制无关反应，学生往往顾此失彼。有的学生在完成一个多项式的因式分解后，不自觉地又把因式相乘，如2x3-8x=2x（x+2）（x-2）=（2x2+4x）（x-2）。此外，学生也很容易错用公式，如x4-y4=（x2+y2）（x2-y2）=（x+y）2（x-y）2。错用公式的原因有两个：一是对公式的结构理解不清，二是难以用换元思想从多项式中分离出代替公式中字母的整式。

因式分解学习的心理过程包括：（1） 基于具体例子抽象因式分解的概念，从变形对象、变形结果的角度分析整式乘法与因式分解的关系；（2） 类比自然数的因数分解，提出多项式因式分解的研究问题，分析多项式因式分解的要求；（3） 根据因式分解和整式乘法的逆向变形关系，寻找因式分解方法的基本方法；（4） 通过训练巩固因式分解的基本方法。

在具体的因式分解过程中，需要辨别多项式的基本结构。首先，要考虑能否提取公因式；其次，要考虑有无乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的运算结构，或能否用十字相乘法；最后，还要确定因式分解的结果是否彻底（能否再分解）。这一过程可以概括为“一提（公因式），二套（公式），三检查（分解结果是否正确、彻底）”。这种多步骤的操作程序是不同的因式分解操作程序的组合，具有较强的综合性，初学时会遇到较大的困难。

综上，学生学习因式分解的难点是：在具体多项式中辨别可以逆向应用分配律、乘法公式的结构，用换元思想从多项式中分离出代替公式中字母的整式。

三、 “因式分解”教学的基本策略

“因式分解”教学的主线应该反应知识发生发展的逻辑脉络，先从数学内部发展（整式除法运算研究）的需要引入因式分解，帮助学生理解因式分解与整式乘法之间的互逆变形关系，辨别变形对象（多项式）和变形结果（整式的积）；再引导学生利用这种互逆变形关系，基于特殊结构的整式乘法，寻找因式分解的方法，从而理解因式分解方法的来源（算理）。此外，心理学研究表明，技能的学习中，分散训练效果好于集中训练。因此，因式分解技能的训练，应该先对提公因式法、公式法等方法分别进行训练，熟练基本技能，再对多种方法进行综合训练，形成综合技能。

（一） 基于整式除法抽象因式分解概念，类比因数分解提出因式分解问题

类似于整数，整式的除法运算不封闭，需要研究两个整式何时能整除的问题。比如，需要研究（x2-x）÷x、（x2-1）÷（x-1）等运算，也就是要寻找使得等式x2-x=x（？）、x2-1=（x-1）（？）成立的整式（？）。这与计算64÷4时，确定哪个整数与4的积为64，把64写成4与整数的积，需要因数分解，是一致的。整数的整除运算需要以整数的因数分解为基础，多项式的整除运算也需要把一个多项式写成几个整式积的形式。

在此基础上，分析具体例子的变形对象和变形结果，理解多项式因式分解与整式乘法的互逆变形关系，抽象多项式因式分解的概念（如图1所示）；类比自然数的质因数分解和最大公因数、最小公倍数等概念，介绍多项式因式的分解为不可约多项式、最大公因式、最简公倍式等概念（这便于后面提公因式，确定多项式分解到不能再分解，分式的约分和通分的学习）；类比自然数的因数分解，提出因式分解的研究问题——多项式因式分解的方法。

（二） 从整式乘法的逆向变形中抽象因式分解的方法

帮助学生理解为什么要对多项式进行因式分解，什么是多项式的因式分解后，要进一步帮助学生理解怎样进行多项式的因式分解。

实际上，初中阶段学习的是特殊多项式的因式分解：提公因式法来自单项式乘多项式，公式法来自特殊多项式相乘的乘法公式（平方差公式和完全平方公式），十字相乘法来自一次式乘一次式。因此，通过回顾前面整式乘法的特殊类型，就可以找到初中阶段重点学习的因式分解方法（如图2所示）。通过这些活动，让学生理解相关因式分解方法的来源，知道相关变形的依据都是在数及字母的运算中普遍应用运算律，从而形成整式乘法与因式分解前后一致、逻辑连贯的知识结构体系。同时，让学生感受到因为代数运算性质的一般性，因式分解也需要用换元的思想看待字母，有较强的整式运算结构的抽象能力。

（三） 通过适当的训练形成因式分解的技能

因式分解是数学方法的学习，需要经历“操作体会—反思提炼—迁移应用—关联综合”的过程。

提公因式法的教学，可以通过具体实例，让学生从单项式乘多项式运算［如2x（x-2）=2x2-4x］出发，写出对应的因式分解式变形［如2x2-4x=2x（x-2）］，判断每个因式是否还能再分解；接着，通过具体例子（如8a3b2+12ab3c），总结确定最大公因式的方法，即取各项系数的最大公因数与各项中共有字母的最低次幂的积（这是确定两个自然数的最大公因数方法的发展），以及确定提公因式后另一个多项式的方法，即原多项式除以最大公因式（这也与自然数的因数分解方法相同）；在此基础上，迁移应用，形成变形技能。

类似地，先让学生根据整式乘法公式逆向表达，写出公式的因式分解形式；再通过从简单到复杂的实例，比对多项式的运算结构和公式结构，分析能用平方差公式和完全平方公式因式分解的多项式的运算结构，提炼用公式法因式分解的步骤，即“分离代替公式中字母的整式—观察比对判断—代入公式变形”；在此基础上，迁移应用，形成变形技能；进而，关联综合，同时训练运用提公因式法和公式法进行因式分解，发展变形能力。

十字相乘法的教学，可以让学生先进行一次式乘一次式运算（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，再逆向变形写出因式分解结果x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q），进而抽象方法，训练技能。对基础较好的学生，可以从更一般的一次式乘一次式运算（ax+b）（cx+d）=acx2+（ad+bc）x+bd的逆向变形中得到更一般的十字相乘法算式acx2+（ad+bc）x+bd=（ax+b）（cx+d），进而总结变形结构（如图3所示），进行技能训练。

在因式分解的训练过程中，要告诉学生相同的字母可以表示相同的数、式（包括单项式、多项式），引导学生用换元的思想处理多项式中的字母——如把9x2-12xy+4y2中的3x、2y看作整体，进行因式分解。

因式分解的应用问题设计，既要考虑因式分解在多项式整除中应用，如“要使多项式（x2+4x+m）÷（x+a）是整式，则m= ，a= ”；又要考虑因式分解在多项式方程求解中的应用，如分析一边为7的直角三角形的另两外边的整数解。

总之，理解教学内容的数学本质及对未来有支撑意义的知识和方法结构，根据教学内容的特点，分析在发展数学核心素养行为表现上的侧重，分析学习的心理规律，在此基础上进行教学设计和课堂落实。

参考文献：

［1］克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学［M］.李伯黍，等译.上海：上海教育出版社，1987：351-357.

［2］琳恩·梅尔策.教育中的执行功能：从理论到实践［M］.周加仙，译.上海：上海教育出版社，2020：20-32.