整体抽象方法，从单一到综合训练技能

摘 要：在初中数学教材中，因式分解公式法的教学一般安排两课时：第一课时逆用平方差公式进行因式分解，第二课时逆用完全平方公式进行因式分解。由于两种因式分解的公式法都来源于乘法公式的逆用，具有整体性，因此，采用“整体—部分—整体”的教学策略，依据单元教学主线，第一课时整体抽象因式分解的公式法，训练逆用单一公式进行因式分解的技能；第二课时训练综合应用提公因式法和公式法进行因式分解的技能。实践发现，这样整体教学的效果优于两种方法分别教学的效果。

关键词：初中数学；因式分解；公式法；整体教学

因式分解是整式乘法的逆向变形。虽然没有普适方法，但是可以从整式乘法的逆向思考中寻找针对特殊结构的方法。在整式的乘法中，对特殊的整式，有特殊的公式，如平方差公式、完全平方公式等。通过逆向应用公式，可以得到因式分解的公式法。

在人教版初中数学教材中，因式分解公式法的教学安排了两课时：第一课时逆用平方差公式进行因式分解，第二课时逆用完全平方公式进行因式分解。由于两种因式分解的公式法都来源于乘法公式的逆用，具有整体性，因此，笔者采用“整体—部分—整体”的教学策略，依据单元教学主线，第一课时整体抽象因式分解的公式法，训练逆用单一公式进行因式分解的技能；第二课时训练综合应用提公因式法和公式法进行因式分解的技能。实践发现，这样整体教学的效果优于两种方法分别教学的效果。

一、 第一课时教学设计

（一） 教学目标及重难点定位

基于上述整体考虑，“因式分解之公式法”第一课时的教学目标如下：（1） 经历探索逆用乘法公式分解因式的活动，分别归纳逆用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法，发展抽象能力；（2） 经历逆用单一乘法公式分解因式的活动，能熟练逆用单一乘法公式分解因式，发展运算能力。教学重点是：逆用平方差公式、完全平方公式分解因式。教学难点是：识别能逆用乘法公式分解因式的多项式结构特征，抽象多项式中能代替乘法公式中字母的部分，整体代入乘法公式分解因式。

（二） 教学过程设计

1. 类比思考，获得方法

问题1：上一节课，我们学习了用提公因式法分解因式。pa+pb+pc=p（a+b+c），这种变形的对象是什么？结果是什么？这种变形方法是怎样得到的？

引导学生回顾提公因式法，分清变形对象是多项式，变形结果是整式的积，变形方法是对单项式乘多项式逆向变形，理解用提公因式法分解因式与单项式乘多项式之间的互逆变形关系，为抽象用公式法分解因式提供思想基础。

2. 辨别应用，巩固方法

问题3：怎样的多项式能逆用平方差公式因式分解？怎样分解？

活动要求：（1） 根据平方差公式写出具体的整式乘法算式并算出结果；（2） 把乘得的多项式交给同桌进行因式分解；（3） 同桌讨论能逆用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特征。

练习1：判断下列多项式能否逆用平方差公式分解因式。如果能，写出分解结果；若不能，说明理由。

（1） x2-y2；（2） -x2-y2；（3） 4x2-y；（4） -x2+4。

问题4：怎样的多项式能逆用完全平方公式因式分解？通过哪些步骤分解？

活动要求：（1） 根据完全平方公式写出具体的整式乘法算式并算出结果；（2） 把乘得的多项式交给同桌进行因式分解；（3） 同桌讨论能逆用完全平方公式进行因式分解的多项式有什么特征。

在此基上，引导学生与逆向表达的完全平方公式比较（如图2所示），从而知道逆用完全平方公式分解因式的关键是：在多项式中找到代替逆向完全平方公式中字母a和b的部分。

练习2：判断下列多项式能否逆用完全平方公式分解因式。如果能，写出分解结果；若不能，说明理由。

（1） a4-4a+4；（2） x2+4x+4y2；（3） 4a2+2ab+14b2；（4） x2+1；（5） a2-ab +b2；（6） a2+a+0.25。

这里引导学生分别借助具体的例子，分析能逆用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式的结构特征，再通过练习，巩固方法，从而理解公式法的关键是“代”，即把公式中的字母用适当的整式代入，发展抽象能力与运算能力。

3. 关注范围，小结提升

例1 判断下列多项式在有理数范围内能否因式分解？在实数范围内能否因式分解？如能分解，给出因式分解结果。

（1） m2-2；（2） x2-4x-2。

追问1：如果要分解成系数是有理数的整式的积，能做到吗？

追问2：如果要分解成系数是实数（可以是无理数）的整式的积，能做到吗？

发现：（1）和（2）在有理数范围内不能因式分解，但是在实数范围内可以因式分解。得到：m2-2=（m+2）（m-2）；x2-4x-2=（x-2）2-6=（x-2+6）（x-2-6）。进而体会到：多项式是否可以因式分解与所在的数的范围（数域）有关。

问题5：用公式法对多项式进行因式分解的关键步骤是什么？

引导学生归纳步骤：（1） 判断多项式能否代公式；（2） 思考用哪个部分分别代替公式中的字母；（3） 确定因式分解的结果是否彻底，即“一判，二代，三检查”。由此，在分别总结逆用平方差公式和完全平方公式分解因式方法的基础上，抽象用公式法分解因式的一般步骤，发展抽象能力。

在此基础上，引导学生回顾本节课的知识和方法，重点思考是怎样获得这些因式分解的方法的，系统总结多项式的因式分解与整式乘法之间的联系，归纳得到知识结构图（如下页图3所示），从而深化对用乘法公式进行因式分解方法的理解，发展抽象能力。

二、 第二课时教学设计

（一） 教学目标及重难点定位

基于前述整体考虑，“因式分解之公式法”第二课时的教学目标如下：（1） 经历综合应用提公因式法、公式法分解因式的活动，能根据多项式的特点，合理选择和综合运用提公因式法和因式分解法分解因式，发展运算能力；（2） 经历综合应用提公因式法和公式法分解因式后的反思总结活动，提炼因式分解的步骤和要点并指导因式分解活动，发展抽象能力。教学重点是：综合应用提公因式法和公式法分解因式。教学难点是：根据多项式的结构特点，选择适当方法和步骤进行分解因式。

（二） 教学过程设计

1. 回顾方法，形成体系

问题1：因式分解变形的对象是什么？结果是什么？

追问1：到目前，我们学习了哪些因式分解的方法？这些方法是怎样得到的？

追问2：因式分解有什么要求？

引导学生回顾因式分解的意义、方法及其来源（见图3）、要求，从而建立因式分解的知识体系。

2. 基础训练，巩固方法

练习1：判断下列多项式在有理数范围内能否分解因式，并指出在实数范围内能分解因式的多项式。

（1） x2+a2；（2） -x2+2；（3） x2+x+1；（4） -4x2+12xy-9y2。

追问：怎样判断一个多项式在有理数或实数范围内能否分解因式？

学生独立思考，教师组织评价并进行总结，从而复习上节课学习的因式分解的数域范围，为练习2做铺垫。

练习2：在有理数范围内把下列多项式因式分解。

（1） 16a5b3+24a3b；（2） x2-4y2；（3） （x+2y）2-（x-y）2；（4） a2-6a+9；（5） x2+x+14；（6） （a+b）2+10（a+b）+25；（7） 9x2+30xy+25y2。

追问1：怎样确定多项式各项的最大公因式？能逆用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式有怎样的结构特征？

追问2：因式分解的基本步骤有哪些？

学生运用提公因式法或公式法分解因式，然后，反思总结确定最大公因式的方法、能逆用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式的结构特征，以及方法不确定背景下因式分解的基本步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三检查（分解是否正确、是否彻底）。从而巩固所学方法。

3. 综合应用，发展能力

例1 分解因式：（1） 3x5-48x；（2） -x2+4xy-4y2；（3） -3a2x2+24a2x-48a2；（4） （a+b）2-12（a+b）+36；（5） （a2+4）2-16a2。

追问：因式分解变形中，经常要把一个整式看成一个字母，那么，上述因式分解过程中，你应用了哪些公式，把哪些整式看成公式中的字母？

引导学生完成因式分解，然后总结：第（1）题，运用分配律公式时把3x看作一个字母，两次逆用平方差公式时依次把x2、4和x、2看成一个字母；第（2）题，先把-1看成分配律公式中的字母，再把x和2y看作两数差的完全平方公式中的字母；第（3）题，运用分配律公式时把-3a2看作字母，逆用完全平方公式时把x和4看成字母；第（4）题，把（a+b）和6看作两数差的完全平方公式中的字母；第（5）题，先把（a2+4）和4a看成平方差公式中的字母，再把a和2看成两数差的完全平方公式中的字母。从而促进学生感悟如何把一个整式看作公式中的字母，再代入公式分解因式，发展学生的抽象能力。

4. 拓展应用，创新思考

例2 分解因式：（1） ax+by-ay-bx；（2） 2a3b-12a2b2+18ab3；（3） 9x2-4y2-28y-49。

引导学生完成因式分解，然后总结：因式分解时，为了能够提公因式和逆用公式，有时需要对各项进行适当分组。从而引导学生根据多项式的特征创新因式分解的方法，发展创新意识。

例3 248-1能被60—70范围内的两个整数整除，求这两个整数。

例4 求证：任意四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方。

引导学生完成。例3转化为找60—70范围内的两个因数，需要先把248-1中的2看作字母进行因式分解（解题过程省略）。例4要证明一般性的结论，需要设字母、列整式，再因式分解：设四个连续整数分别为x-1、x、x+1、x+2，则它们的积为（x-1）x（x+1）（x+2）+1=（x2+x-2）（x2+x）+1=（x2+x）2-2（x2+x）+1=（x2+x-1）2。因为x是整数，所以（x-1）x（x+1）（x+2）+1是整数x2+x-1的平方。让学生学会以多项式的因式分解为工具，解决问题。

5. 总结提升，深化理解

问题2：方法不确定背景下，因式分解的基本步骤有哪些？怎样根据多项式的运算结构选择适当的因式分解方法？提公因式法和公式法因式分解中的关键是什么？

引导学生总结综合应用多种方法分解因式的基本步骤和选择思路：先考虑提公因式，再考虑逆用公式；两项式，考虑平方差公式；三项式，考虑完全平方公式；超过三项，考虑分组；（x-1）x（x+1）（x+2）+1等非规范多项式，则需要先适当变形、换元，转化为规范的多项式，再进行因式分解。进而明确关键（难点）：找到能代替公式中字母的整式，把它看作字母代入分配律公式或乘法公式。进一步发展学生的抽象能力。

三、 实施效果反馈

课后反馈表明，学生理解了因式分解公式法的来源以及应用的关键，能清晰地表达能逆用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式的结构特点，78%的学生能比较熟练地逆用单一公式分解因式（没采用这种教学方式的平行班，这项数据为64%），62%的学生能解决需要综合应用提公因式法和公式法分解因式的问题（没采用这种教学方式的平行班，这项数据为48%）。