基于大概念视域的初中数学解题教学实践探究

摘 要：文章通过分析代数和几何例题的解题过程，在大概念视角下，从多元角度分析题意，构建概念体系、搭建阶梯联系概念，形成数学表达和举一反三拓展训练，积累概念模型对初中数学解题教学进行实践探究，以此反哺课堂教学，让学生学会有逻辑地思考，有理由地解题。同时，文章还反思数学解题教学过程，引导学生在解题后及时纠错，归纳总结。

关键词：大概念；解题教学；逻辑思维链

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2025）04-0068-04

一、 问题提出

解题是数学活动的基本形式和主要内容，因此数学教学与解题教学密不可分。然而日常解题教学实践中存在不少问题：①机械模仿解题过程，缺乏条件联系；②反复解决重复问题，遗忘解题思路；③不会划分问题类型，深陷题海战术。究其原因，学生忙于复制解题过程，眼花缭乱；教师忙于展示解题结果，火急火燎。教师没有精力教会学生学习解题，学生没有时间回顾整理解题经验，因此难以实现数学解题思维认知结构的重构。

文章认为可将大概念用于数学解题教学过程，通过例题统摄教学内容，明确核心概念，联系解题方法，逐步剖析问题本质，理清数学思维方法，再变式训练巩固熟悉，实现解题教学的真正价值。

二、 大概念视角解题结构

数学大概念是大概念理念在数学学科中的具体表达和综合运用，是基于数学学科本质和数学核心内容提取出来的具有统摄性的表达，具有以下特征：能够帮助学生理解数学的本质；能够赋予学生参与数学探究的能力；支持数学与其他学科、学生生活产生联系，可以表述为一个词语、一个短语或者是一个问题。

大概念视角下数学解题教学的教学实践，从典型例题出发，明确相关概念网络，分析其所属问题体系。依据等价命题与前后问题拓展构成命题链，形成解决问题的路径，其具体流程如图1所示。

三、 基于大概念视角的解题教学

无论是代数解题教学还是几何解题教学，解决问题的过程实则都是有逻辑地研究一个问题对象的过程，梳理所涉及的核心概念，遵循数学对象的一般研究套路，以联系的观点搭建相关概念的知识网络，形成逻辑思考链，最后变式研究揭示问题本质，从而挖掘解题教学背后的育人价值。

以二次函数题和圆的综合大题为例，对基于大概念视角的初中数学中的代数和几何解题教学具体展开实践探究，两者在大概念的统领下辩证统一，但也略有区别。

题1：已知二次函数y=ax2-2ax+3（a为常数，a≠0）

（1）若a＜0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点；

（2）若a=-1，求证：当-1＜x＜0时，y＞0；

（3）若该函数的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且-1＜x1＜x2＜4，求出a的取值范围。

题2：如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是BD上一点，连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC，AD，FG。

（1）若∠AFO=60°，求∠CGO的度数；

（2）求证：AC2=AG·CF；

（3）设∠AFO=α，△CFG的面积为S1，△AOF的面积为S2，求证：S1S2=tanα-1。

（一）逐点击破，多元角度分析题意，构建概念体系

数学概念是大概念视角下解题教学的核心与起点，而命题则是由各种概念组合而成。在解题教学中，教师应先帮助学生学会阅读条件信息，逐步进行条件要素分析，构建数学概念体系。

从涉及的概念来看，题1涉及二次函数及其图像、一元二次方程与不等式等概念，题2涉及圆的基本性质、圆周角定理、相似三角形及三角函数等概念。下面将围绕这些概念明确解题教学过程中的主要研究对象，以确定各题组问题类型，并展开知识网络搭建。首先要着眼于对题目条件信息的获取，教师先提出一个统领性问题作出铺垫，启发学生思考：这是个什么问题？要求什么？然后给予学生充分时间对文本材料进行解读分析。在代数解题教学前期，教师应积极帮助学生分析转化等价命题，同时，帮助学生养成好审题习惯——做好几何条件标注，用相同的符号标注相等的角或边，用字母表示相对复杂的边角数量关系。通过审题与分析，搭建起概念系的知识网络，建立解题整体观，为后续各要素间建立联系奠定理论基础，得到研究问题分析如下。

题1研究对象——二次函数

问题类型整理：

（1）二次函数与x轴交点问题；

（2）二次函数的图像与性质之求解函数取值范围；

（3）二次函数图像与不等式综合。

题2研究对象——圆与相似三角形

问题类型整理：

（1）圆中角度计算

（2）相似中线段数量关系求解

（3）几何面积比值问题

（二）串点成线，搭建阶梯联系概念，形成数学表达

在二次函数和几何解题中，学生往往会陷入无头绪的困境，题干中的条件与结论分明了然，但难以找寻两者之间的“联结点”。运算公式、法则和性质定理倒背如流，但不知何去何从。因此，教师要指引学生进行联想，利用有结构的问题链推动学生思维的有序前进，在问答中呈现学生的思维过程，揭示解题的一般方法；最后用思维框图的形式进行数学表达，实现用数学的语言表达世界。

1. 问题链接思维断点，学会有逻辑地思考

题1中所涉及的代数模型较多，但是可以互相转化，学生没有掌握研究思路而迟迟不得进展。因此在此类代数解题教学中，教师不妨先设计问题链启发学生按照条件信息进行程序性思考，从而将各等价命题与代数相关命题进行串联，进而找寻到解题思路。

【题组一问题链】

问题1：第（1）问中要证明的命题条件与结论分别是什么？

追问1：由a＜0出发，可以得到什么？从函数图像上还可以得到什么信息？

追问2：怎么证明二次函数图像与x轴有两个公共点？二次函数与x轴的交点问题还可以理解为什么问题？你能算出与x轴的交点坐标吗？为什么这么算？

分析：通过问题引导，学生经历从条件到结论，结论推得所需条件的过程，学会自主寻找问题冲突点，自然理清思维逻辑线。例如“由a＜0出发”，学生自然会想到开口方向，从而用二次函数图像解决问题，进一步推进学生探究二次函数的对称轴表示、顶点坐标、与坐标轴的交点及是否过定点等问题。与几何一样，寻找逻辑推理思路不仅可以由因导果，还可以执果索因。例如，“怎么证明与x轴有两个公共点”，启发学生从方程角度进行求解，遵循一元二次方程的一般研究路径，进而探究解的个数。

【题组二问题链】

问题2：第（2）问中要证明的命题条件与结论分别是什么？

追问1：从a=-1和-1＜x＜0出发，可以得到什么？从函数图像上还可以得到什么信息？

追问2：当a=-1时，怎么证明y＞0？若要y＞0成立，需要满足什么条件？依据是什么？

追问3：当a=-1和-1＜x＜0时，怎么证明y＞0？若要y＞0成立，需要满足什么条件？依据是什么？

分析：从两个条件出发，启发学生从函数图像角度求解函数的取值范围，自然推出结论，渗透数形结合的代数推理能力。从一个条件与结论出发，引导学生联想不等式，利用不等式的变形降次求解一元一次不等式组，发展代数命题推理能力，启发学生联系自变量和函数之间的关系，应用不等式的基本性质进行代数命题推理。此方法对学生提出了更高的要求，要求学生能灵活应用运算，从函数的角度解决不等式问题。

【题组三问题链】

问题3：第（3）问中要证明的命题条件与结论分别是什么？

追问1：从该函数的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且-1＜x1＜x2＜4出发，可以绘制出怎样的二次函数图像呢？根据表达式寻找图像中的变与不变？根据图像，可以得到怎样关于a的不等式？

追问2：要求a的取值范围，需要先得到什么？x1与x2分别用a怎么表示？a何时取到最小值和最大值？

分析：基于前面的解题经验，启发学生从条件与结论入手，分别从二次函数图像法及代数法对该问题进行进一步的解决。引导学生利用不等式还原函数图像，依据函数图像联想所得的代数关系。其中，追问2自然启发学生有序开展对含a的不等式或方程的探索，进而得到数量关系，这一过程让学生感受代数推理与几何直观密不可分的关系，教会学生灵活应用数形结合解决代数问题。

题2中所涉及的几何图形较为综合，较代数解题教学，几何中的研究对象较多，因此该解题教学中应侧重于启发学生找寻几个条件要素的关联性，不仅要找寻要素与要素之间的联系，还要分离要素与环境之间的联系，甚至还要积极探索对象与对象之间的联系，因此更加考验教师问题设计的逻辑性。为清楚表示其问题设计，将其以如下表格的形式呈现。

问题链设计分析与解答

求解第一问

这是一个什么问题？要求什么？这是一个角度计算问题，要求∠CGO的度数。

已知条件有哪些？可以直接利用吗？已知条件有直径AB与CD相互垂直，∠AFO=60°，要求∠CGO的度数，因此要构建两角的数量关系。

可以对已知条件进行转化吗？由已知条件∠AFO的度数推得余角∠AOF，因此∠CGA可以看作△AGE的外角。

有哪些条件可以利用？怎么利用？可以利用直径AB与CD相互垂直此条件，得到圆心角∠AOC的度数，从而求得同弧所对圆周角∠AEC的度数。

求解第二问

要证明什么？利用什么方法得到这些线段之间的等量关系呢？要证明的是线段之间的比值关系，根据此形式可以推得应利用相似三角形来证明。

要证明相似的三角形是哪一对呢？根据等式中的线段可以找寻到要证明相似的三角形为△AGC与△AFC。

这对相似三角形中已经存在的等量关系有什么？可以直接利用条件得到吗？因为要证明边之间的等量关系，所以是根据角的等量关系推得的，利用直径AB与CD相互垂直可以找到等弧，推得所对的圆周角∠CAD=∠CAB，因此仍需要再得到一对角对应相等。

还能再找到一对角相等吗？有哪些条件可以利用？∠AGC=∠CAF，联系（1）中角的数量关系，不难发现由外角定理可推得∠AGC=∠GAE+∠E=∠GAE+∠CAB=∠CAE。

现在可以证明了吗？利用对应边成比例可以得到有公共边的比例式。

求解第三问

这是个什么问题？要求证什么？要得到两三角形的面积比。

这两个三角形面积之间有直接关系吗？要如何构建联系？没有直接关联性，可以尝试用已知条件表示这两个三角形的面积，通过计算求出面积比值。

用于求解这两个三角形面积的可利用条件有哪些？怎么求解？设半径为r，观察求证结论，可利用tanα表示OF的线段长，通过线段和差计算进一步得到CF的长度，结合第（2）题结论，得到AG长，从而得到OG长，求解S1和S2，得出面积比。

还有其他方法吗？如果从可利用的条件出发呢？由第（2）题结论发现，AG和CF为四边形AFGC的对角线，因此等式可转化为“△ADC和四边形AFGC面积相等”。

这个面积关系和要求的结论之间有什么关联呢？等积和差变化转化为“△CFG和△AFD面积相等”，最终将要求的面积比转化为DF∶OF，即（OD-OF）∶OF。

最终将其转化为什么问题？用代数求解几何问题或面积等积转化。