指向数学基本活动经验形成的初中数学四环教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出“通过数学课程的学习，掌握适应现代生活及进一步学习必备的基础知识和基本技能、基本思想和基本活动经验”，并将基本活动经验与基本知识、基本技能、基本思想并列，彰显其地位和价值。以下，笔者试对数学基本活动经验的内涵与形成路径进行分析，并据此进行教学实践，直击经验的形成与积累，发展学生的数学核心素养。

一、数学基本活动经验的内涵与形成路径

（一）数学基本活动经验的内涵

张奠宙等人认为，数学基本活动经验指“在数学目标的指导下，通过对具体事物的实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃而形成的认识"。也就是说，数学基本活动经验必须在学科目标的指导下，以动手动脑相结合的活动操作，促使学生实现理论与实践的双重认知转换。有鉴于此，笔者利用要素法分析数学基本活动经验的内涵。首先，“基本”说明经验具有可复制、可迁移、可应用的认知特征学生积累这些经验后，能将其迁移运用至不同情境，形成稳定的思维模式或观念体系。其次，经验以“活动”为载体，强调思维活动的实践性，包括观察、实验、猜测、推理、交流及反思等，突出学生的亲历、体验。最后，活动以生成“经验”为目的，即学生通过亲历活动自主建构，获得对知识的理解性掌握，实现经验的激活、再生与内化，达成数学基本活动经验的闭环。

（二）数学基本活动经验的形成路径

根据数学基本活动经验的内涵，在培养数学基本活动经验的教学中可以这样做：先让学生聚焦真实情境，观察其中的数学概念、关系、结构、原理等，并基于已有的经验提出数学问题；再基于已有的数学发展水平，开展多层次的数学猜想，并设计相应的研究方案；然后以手脑并用的数学探究或实践活动，得出初级的数学经验，进而通过验证猜想拓展与完善经验；最后通过应用经验解决问题逐步实现经验结构化。

由此可发现数学基本活动经验的形成路径，包括“激活已有经验、获取新生经验、拓展再生经验、内化图式经验”等要素。该路径具有内隐性、个性化、发展性等特征。内隐性是指在数学活动中，学生逐步与外界环境交互，同化顺应形成自身的数学经验；个性化是指每个学生都有自己的经验形成路径，受个人认知风格、学习经历、思维模式等多种因素的影响；发展性是指数学基本活动经验的形成是一个长期的、动态的过程，需要不断地积累、优化和迭代。

二、指向数学基本活动经验形成的教学分析

形成数学基本活动经验不是一而就的，需要关注学生的内在体验和理解。在教学中，教师应为学生提供问题情境和思考空间，让其经历“观察联想、猜想验证、表征应用、结构反思”四大环节，逐步形成并积累数学基本活动经验，发展核心素养。以浙教版义务教育教科书《数学》九年级上册第3章第3节《垂径定理》第1课时为例，笔者首先进行内容解析和目标设置，然后建构指向数学基本活动经验形成的教学框架。

（一）内容解析

垂径定理是圆的轴对称性质的具体表述形式，刻画了直径、弦及弦所对的弧之间特殊的位置关系和数量关系，搭建了“圆中有关计算和作图”问题解决的支架，提供了“曲线型”问题转化为“直线型”问题的解决策略。

（二）目标设置

垂径定理是圆的轴对称性探索的起始课，不仅承接了学生对直线型图形性质的研究经验，还开启了对曲线型图形性质的系统探究，贯穿轴对称思想、数形结合思想和转化思想据此制订这节课的教学目标：根据圆的轴对称性探索并证明垂径定理；掌握垂径定理，能用文字语言、符号语言准确表述垂径定理，并运用垂径定理解决问题。这节课的教学难点是：垂径定理的发现及证明。

（三）框架建构

这节课需要紧扣数学基本活动经验的内涵，按照“激活已有经验、获取新生经验、拓展再生经验、内化图式经验"的经验形成路径，引导学生在垂径定理的发现与探索中，经历“观察联想、猜想验证、表征应用、结构反思”四大环节，凸显经验螺旋上升的获得过程，从直观观察到归纳猜想，再从实验验证到逻辑证明，最后回归实践应用。据此，笔者建构了如图1所示的教学框架。

三、指向数学基本活动经验形成的教学实践

数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理[2]。因此，笔者基于上述分析，设计和组织多样化的数学活动，促进学生在亲身体验和感悟中获得系统的数学基本活动经验。

（一）观察联想：激活已有经验

数学基本活动经验的建立需基于学生的已有经验。课堂伊始，笔者创设基于真实世界的数学情境，引导学生观察数学信息，联想并激活相关的已有经验，为后续猜想验证环节提供支架。

【活动1】折叠纸片，观察对称

情境：出示圆形杯盖、车轮、摩天轮等图片，让学生观察、欣赏，并与同桌互说其对称美。

问题1：圆是轴对称图形，请找出它的对称轴，并说说对称轴的特点。

[学生活动]动手沿不同直线折叠圆形纸片，使得折痕两边的部分能完全重合，并得出结论——直径所在的直线是圆的对称轴，且圆有无数条对称轴。

追问：在圆o内添加一条弦 AB （如图2所示），那“圆 + 弦”的组合图形还是轴对称图形吗？请动手实验并观察实验结果。

[学生活动]延续问题1的解决方法，通过沿不同直线折叠圆形纸片，发现只有沿垂直于弦 AB的直径对折时，折痕两边的部分才能完全重合，然后通过几何直观猜想发现“圆 + 弦”的对称轴有且仅有一条。

设计意图：通过对圆形纸片进行折叠操作并观察操作结果，可促使学生联想关于“圆的对称轴是任意一条直径所在的直线”“线段的对称轴是其垂直平分线”等数学知识，激活已有经验，从而建立对“圆 + 弦”对称性的直观理解。通过追问，在圆内添加一条弦，从而将圆的无数条对称轴确定下来，引出这节课的研究对象：弦和垂直于弦的直径。

（二）猜想验证：获取新生经验

数学基本活动经验的形成需经历判断、筛选与确认的认知过程。教学中，教师应创设开放性的数学探究活动，引导学生基于已有经验

提出猜想，并通过实验、推理等方式加以验证，从而获取新生经验

【活动2】画图实验，开展猜想

问题2：请画出“圆+弦”图形（图2）的对称轴，猜一猜它有哪些特征。

[学生活动]基于折叠的操作经验，在纸片上画出其对称轴。由于弦是圆内的一条线段，学生通过对图2进行拆解，发现弦的对称轴和圆的其中一条对称轴重合，由此得到猜想“圆 + 弦”图形的对称轴是唯一确定的，且具有以下三个特征： ① 经过圆心； ② 垂直于弦AB； ③ 平分弦 A B。

追问：再猜一下，至少具备几个特征，就能确定图2对称轴的位置？

[学生活动]基于“两点确定一条直线”的经验，猜想至少需要两个条件。因此，将以上三个条件进行两两组合，推得“圆+弦”图形的对称轴的三种可能，并列出每个猜想的条件和结论（如表1所示）。

设计意图：通过画图分析确定“圆 + 弦”图形对称轴所需要的条件，并在纸片上画出该对称轴，可将实验操作抽象为几何图形的轴对称变换，使学生从画图的角度入手，经历猜想的全过程，而阐述作图的合理性，则有助于学生厘清思路、发现结论。

【活动3】推理证明，验证猜想

问题3：你能证明这些猜想吗？

[学生活动]连接 OA，OB ，运用全等三角形或等腰三角形“三线合一”，分别证明得到直线 C D 平分弦 A B ，垂直于弦 A B ，经过圆心。

设计意图：等腰三角形“三线合一”的证明过程强调对称性分析、全等转化，这些经验为学生证明“弦与直径”的猜想提供了重要思路。学生基于经验连接半径，并运用“三线合一”进行推理证明，可实现从实验几何到论证几何的进阶。同时，在绘制出垂径定理的基本图形的过程中，学生可初步感受到“以弦定轴”的思想。

追问1：根据圆的组成要素和相关要素，你还有哪些发现？尝试证明你的发现。

[师生活动]师生对比直线型图形性质的研究经验，共同探讨得出圆的组成要素为“圆上的点；圆上的点与圆心的连线，即半径、直径；圆上的两个点的连线，即弦；圆上两个点之间的部分，即弧”等，进而发现对称轴（直线CD）还平分弦 A B 所对的优弧与劣弧。

追问2：改变图2中弦 A B 的位置，上述的结论还成立吗？

[师生活动]教师引导学生作图试验，如将水平放置的弦 A B 倾斜，或将弦 A B 的位置特殊化，即弦 A B 经过圆心，此时，学生发现当遇到“弦恰为直径”这一特殊情况时，猜想2不成立。

设计意图：通过追问1，激活学生已有的直线型图形性质研究的经验，引导学生猜想圆的性质研究要从图形的组成要素和相关要素出发，促进学生有序地分类、梳理出圆中值得研究的要素，这也可以为后续圆的性质研究指明方向。通过追问2，在“圆 + 弦”图形的轴对称性探究的基础上，进一步引导学生改变弦AB的位置，发现不变的规律，完善之前所得的猜想。

（三）表征应用：拓展再生经验

表征应用是经验再生的重要途径。教师需设计层次递进的问题链，促使学生将已有经验应用于新情境，并通过策略调整和创新实践深化经验理解。此过程既能强化知识联结，又能培养解决问题的灵活性与创新力，从而拓展再生经验的普适性。

【活动4】多维转化，表征结论

问题4：你能将获得的结论，用文字语言、符号语言和图形语言来表达吗？

[师生活动]学生回答，教师板书。如果学生的表述出现问题，教师就引导学生共同纠错，并归纳得出垂径定理及其符号化表示。

设计意图：通过对同一结论的多维表达，让学生领悟到不同视角下的数学经验的形式，进而培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力。

【活动5】应用结论，解决问题

问题5：垂径定理有什么作用呢？

例1：如图（略，见教材第77页），已知弧A B ，用直尺和圆规作这条弧的中点。

[师生活动]学生在学案上思考完成例1，教师投屏展示学生的做法，师生共同归纳作图的步骤和依据。

设计意图：例1是垂径定理的直接应用，可让学生了解弦和弧的对应转化关系。对学生而言，作弧的中点问题是陌生的，但可以利用垂径定理将其转化为作弦的中点问题，即作线段中点。

追问：如何利用垂径定理进行定量计算？

例2：一根排水管的截面如图所示（略，见教材第77页）。已知排水管的半径 ，水面宽 A B=16 。求截面圆圆心o到水面的距离 。