数形结合明算理 关联对比通算法

“运算律"是人教版小学数学教材四年级下册第三单元的内容，主要学习的是加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，以及这些运算定律在整数四则运算中的运用。学习这部分内容时，学生似乎都能理解、掌握，但在实际运用时总是出错误。特别是在一些计算中，到底是运用乘法结合律，还是运用乘法分配律，学生总是混淆不清（如图1）。

（8×4）×25 18×4）×25 （8+4）x25

=8×25+4x25 =18×47×18×25） 8+4×25

二200+100 =32×200 8+100

=3 =6400 =108

从图1中学生的错误可以看出，他们更多是基于算法层面上的模仿，一味地追求凑整而无视计算的合理性、运算定律自身的逻辑性。造成这一现象的原因是什么呢？如何才能帮助学生走出运算律学习的困境呢？下面谈谈笔者的思考。

一、追根源：找出乘法运算律学习困境之源

（一）解读教材缺广度

人教版小学数学教材对于“运算律"这个单元内容的编排是以情境为依托，结合生活情境帮助学生理解各种运算律的内涵，建立数学模型。为了突破难点，教材特意编排了问题：王老师一共买了多少个羽毛球？根据题干中的“王老师买了5副羽毛球拍，花了330元；买了25筒羽毛球，每筒32元。每筒羽毛球12个”，学生既可以用乘法分配律进行简算，也可以用乘法结合律进行简算，能在问题解决的过程中感知解题策略的多样性。

在教学中，笔者发现，学生在情境中理解乘法结合律与分配律的算理并不存在困难，一旦脱离情境，运用运算律进行简便计算时就错误频出。由此可见，单一情境不足以揭示运算律的数学本质，使学生难以灵活运用运算律。

（二）分析学情缺准度

在教学中，不少教师认为，学生学习运算律缺乏认知基础。其实，学生学习运算律的认知起点并不是“零”。学习多位数乘一位数、两位数乘两位数、长方形的周长后，他们对乘法分配律的算理已经有了初步的体验，相对而言，乘法结合律的算理体验较少。从中可以看出，学生对于这两种运算律的认知基础是不同的，这也是学生混淆两种运算律的原因之一。

（三）实施教学缺深度

在常态化的教学中，教师往往缺乏对教材的深入解读与思考，教学也就难有深度可言。常态教学过于碎片化，教师缺乏对知识脉络的梳理，整体意识不强。针对学生作业中的错误，教师缺乏归因分析，总认为多练习、多强调、多模仿学生才能学会。注重以算法为主的教学，固化了学生的思维，淡化了学生对运算律算理的深度理解。

二、寻找对策：探索乘法运算律学习困境之策

（一）借助数形结合，明晰算理，促进思维发展

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下称“新课标”）提出，要立足学生核心素养的发展，小学阶段要建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型。将抽象的“数”用具象的“形"演绎出来，使抽象的问题直观化，复杂的问题结构化，更有利于学生发现知识间的联系、把握问题的本质、明晰思维的路径。

相比于人教版教材，北师大版教材在本单元提供的素材更加多元，除了情境创设，教材中例题和练习的编排运用了丰富的学生熟悉的生活元素和图示，以帮助学生理解算理。借助数形结合，使算理可视化，有助于学生明晰算理，把握算理本质，为两种运算律的灵活运用搭建了思维模型。

（二）落实“瞻前顾后”，注重联结，积累活动经验

“新课标"提出，教学要基于单元，着眼整体，注重知识间的联系，多角度去把握知识体系，实现思维与方法的联结。

在教学人教版小学数学教材三年级下册“两位数乘两位数的笔算乘法例1”时，在探究“ 1 4 × 12”的笔算乘法计算方法之前，教材呈现了点子图，让学生试着用已有的经验计算“ 。教师应抓住这个契机，让学生充分经历动手操作的过程，帮助学生积累两种运算律的活动经验，为学生进一步学习运算律积累思维经验。

运算律在整数运算中的运用，处于“承上启下"的关键位置，对于将来能否顺利迁移到分数、小数起到了至关重要的作用。因此，教师要准确把握知识的脉络，做到“瞻前顾后”，精心设计教学活动，重视学生活动经验的积累。

（三）尝试“比较学习”，注重整合，突破教学难点

“比较学习”是提升学生数学思维水平、突破教学难点的有效方法。人教版小学数学教材四年级下册"运算律”单元教学顺序为：加法交换律、加法结合律、连减的性质，乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、连除的性质。教师要围绕知识点的相似处、易混处设计教学，引导学生在比较中学习，在比较中思考，深化对运算律算理的理解，丰富对运算律算法的思考。例如，教师可以适时将加法交换律与加法结合律比较，帮助学生厘清概念，为乘法交换律和乘法结合律的学习奠定基础；将加法交换律、加法结合律与乘法交换律、乘法加法结合律比较，能帮助学生从“相似”中发现加法与乘法运算律的本质区别；将乘法结合律和乘法分配律比较，能帮助学生在对比中区分两种运算律的模型，突破教学难点，实现思维进阶。

三、教学实践：重构乘法运算律的课堂教学

基于以上思考，针对学生运用乘法结合律与乘法分配律的问题，笔者设计了一节乘法结合律和乘法分配律的练习课。借助数形结合，帮助学生建立起这两种运算律的认知结构，形成两种运算律的相对清晰的思维模型。

（一）借助数形结合，展示两种乘法运算律的“外形”之异

【活动一】拼一拼

1.用乘法算式表示各组的小正方形的个数。提出问题：图2中哪两组方格图刚好可以拼接在一起？

学生上黑板拼一拼，再尝试用算式将拼接过程记录下来，并结合拼接的过程，说说算式的含义。

2.继续思考：如图3所示，如果两组方格都是4 × 3 个呢？可以怎样拼？想一想，填一填。

教师引导学生交流两种拼法填写的算式，对比两道算式所表达的不同意义。

4 × 3 + 4 × 3 = （ 4 + 4 ） × 3 4 × 3 + 4 × 3 = （ 3 + 3 ） × 4

基于学情，教师让学生自主发现与交流。学生借助几何直观，在图形拼组中切实地“看"到乘法分配律。在拼一拼、说一说的过程中，教师紧密联系“数”与“形”，突出乘法分配律的本质：几个几加几个几一共得几个几。

3.出示： （ 4 × 3 ） × 2 = 4 × （ 3 × 2 ） × 门

师：有个同学是这样列式的（如图4），你们能看懂这道算式的含义吗？

相较于乘法分配律，学生对于乘法结合律的算理及表征较为陌生。教师直接出示算式“依图说理”，能有效帮助学生建构乘法结合律算理的直观模型，积累活动经验，为之后进一步深入思考提供了有力的支撑。

（二）借助数形结合，呈现两种乘法运算律“算 理"之异

【活动2】比一比

师：你会用不同的简便方法计算“ 1 5 × 1 2 ”吗？你能将计算过程在方格图中表示出来吗？能写几种就写几种。

学生独立完成后，进行交流汇报，如图5）

交流片段1（如图6）

15 15 15 15 12 15×8 12 15×6 12 15×10 12 12×10 12×5 15×4 15×6 15×2 15×12 15×12 15×12 15×12 =15×（8+4） =15×（6+6） =15×（10+2） =（10+5）×12 =15×8+15×4 =15×6+15x6 =15×10+15×2 =10×12+5×12 =120+60 =90+90 =150+30 =120+60 =180 =180 =180 =180

师：利用乘法分配律简算有什么共同点？

生：都是将其中的一个乘数拆成两个数的和，写成“几个几”加“几个几”的形式。

生：拆成的两个数分别与另一个乘数相乘能凑整，这样方便口算。

师：无论怎样拆，数量的多少有没有增加或减少？

生：没有，都是算15个12或12个15是多少。

此题有多种简算方法，但不是对多种方法的列举，而是重在梳理、对比与提炼，借助直观图寻找方法中的相同之处。在直观图的支撑下，学生发现，它们都是将一个整体拆成几个几与几个几的和。并且始终牢牢抓住另一个核心：无论怎样简算，都是计算15个12或12个15是多少。这一环节，教师利用直观图进行对比，搭建了“乘法分配律”的直观模型，能进一步内化算理。

交流片段2（如图7）

师：用乘法结合律简算有什么相同之处？

生：我发现，每一份分得同样多就可以用乘法结合律简算。

师：请你具体说说。

生：比如，先将12拆成6个2，这样每一份都相同，就可以先算其中的一份，用 1 5 × 2 ，有6份，所以

再乘6。

师：想让每一份都相同，就要将其中一个因数拆成什么？

生：拆成几乘几。

生：拆的时候也要注意凑整。12既可以拆成4 × 3 ，也可以拆成 3×4 ，把4写前面与15先乘更方便。

师（指着图7）：说得真好，无论将12拆成4个3或3个4，每一份都相同，都可以先算出其中的一份，再算几份一共是多少。但计算时要讲究策略，将4放前面计算更简便。

师：对比前面乘法分配律简算的直观图，你们有什么发现？

由于学生对乘法结合律算理的体验较少，这里借助直观图，帮助学生进一步建构乘法结合律算理的模型是十分必要的。教师要借助“形"的直观优势，引导学生充分地“比较”"说理”，从而进一步内化乘法结合律的算理。使学生认识到：只有每一份分得一样，才能写成连乘的形式，进而用乘法结合律进行简便计算，这也是乘法结合律与乘法分配律的区别所在。这一层次的对比，使学生的思维实现进阶，揭示了知识间的联系，直击数学本质。

（三）借助数形结合，明晰两种乘法运算律算法之异

【活动3】说一说

师：对照方格图，思考图8右边的计算对不对？

生：不对， 1 5 × 1 0 表示10个15，再乘2，格子的数量比这里的格子多了。

师：你能大概表示一下范围吗？

生（在格子上比画）：有两个 1 5×1 0 这么大，这样算肯定是错的。

借助方格图让学生想象计算方格数的范围，由此判断计算方法的对错。从直观呈现到辅助想象，学生逐步有了依"形"推“理"的意识，学生的抽象思维能力得到了明显的发展，明确了“为什么可以这样”“为什么不能那样”，为灵活运用乘法运算律解决问题积累了丰富的思维经验。

让学生真正理解、掌握、运用运算律，不是一两节课就能解决的，教师要在整体把握教材的基础上，借助数形结合的支撑，通过关联对比来突破重难点，帮助学生养成用联系的眼光思考问题，用结构化方式分析问题，在掌握知识的过程中渗透数学思想，做到深度学习，实现思维进阶。

（作者单位：安徽省黄山市黄山区甘棠中心学校）