探究加速度与力、质量关系的一般图像

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2025）4-0062-3

“探究加速度与力、质量的关系"实验是普通高中物理教科书必修一的重要内容。如图1所示，为平衡小车受到的阻力，采取了把木板的一侧垫高的方法；同时为了用槽码重力代替小车受到的拉力，采取了使槽码质量远小于小车质量的操作。而在真实情境中，由于纸带要受到摩擦，更换小车质量后，若不改变斜面倾角，原来阻力和重力分力的平衡会被破坏；另外，随着槽码质量的增加，槽码质量远小于小车质量的操作也被破坏。实验所得的图像往往不一定过原点，斜率也在变化。

1 小车加速度的理论推导

使用如图1所示的装置探究加速度与力、质量的关系时，设小车质量为M，槽码质量为 m ，斜面倾角为θ，小车与斜面之间的动摩擦因数为 μ 打点计时器与纸带之间的摩擦力是 ，连接槽码和小车的绳子上拉力为 F ，车和槽码的加速度均为 。忽略细线和滑轮之间的摩擦，根据牛顿第二定律，分别列出小车和槽码运动的受力方程

两式相加可得

2 理想条件下加速度与力、质量的关系

本实验采取控制变量法研究加速度与力、质量的关系。由于学生还没有正式学习牛顿第二定律，不能利用该定律计算绳上的拉力，只能平衡阻力之后把槽码重力当作小车受到的合外力，为此就要满足 m < < M 这个条件。

推导过程如下：

当重力分力与阻力平衡即 M g s i nθ=μ M g c o sθ + ，（3）式变成

若满足 m < < M 时 ，M+m≈M ，（3）式进一步变成a=1 0

满足上述两个条件时，（1）式可以变成 F = 。此时，槽码重力就是小车所受合外力，所以a=F

满足上述两个理想条件进行实验，可以得到：小车质量一定时，小车加速度和合外力的图像是一条过原点的直线；合外力一定时，小车加速度和小车质量倒数的图像也是一条过原点的直线。因此，小车的加速度与自身受到的合外力成正比，与小车质量成反比。

3 真实情境下加速度与力、质量的关系

使用图1所示的实验装置，让小车沿着斜面做匀速直线运动，用水平仪测得斜面倾角为 计算可得小车与木板间的动摩擦因数约为 0 . 0 5 。将细绳直接拴着穿过打点计时器的纸带由合适数量的曲别针带动，使纸带做匀速直线运动，可得纸带阻力约为 下面我们使用特殊值法和画图法分析真实情境下小车加速度与槽码重力、质量的关系。

3.1 小车质量一定时，加速度与槽码重力的关系

当槽码质量为0时，将 m = 0 代人（3）式，可得 。即 图像与纵轴的截距为 当此值为正数时，说明斜面倾角 θ 过大；其物理意义是不挂槽码时小车就有加速度，平衡阻力过度。当此值为负数时，说明斜面倾角 θ 过小；图像与横坐标的截距是正数，其物理意义是只有当挂一定质量的槽码时，小车才能刚好保持匀速直线运动，说明平衡阻力不足或者没有平衡阻力。当此值为0时，说明斜面倾角 θ 合适，刚好平衡了阻力。

根据（3）式，当槽码质量 为无穷大时，可忽略 $M _ { ☉ }$ ，得 即 图像中加速度的值趋近于 g 。其物理意义是当槽码质量无穷大时，小车所受其他力都可以忽略不计，相当于槽码自己在做自由落体运动，所以加速度是 g 。

在槽码拉动小车的系统中，必然存在此结论：小车质量一定时，槽码重力越大，系统加速度越大。

于是，我们可以大概推测 图像的变化趋势，是截距不一定为0的、其值不断增大并趋近于 a = g 的图线。

为了能够使用Geogebra软件准确画出 a -mg图像，根据（3）式，令自变量 x = m g ，设 0 . 0 2 N， M=1 k g， g=9 . 8 N/ k g ，分别画出斜面倾角 θ 为 时的 a-m g 图像，如图2所示。

此图像与我们采用极限法分析的结果一致。

另外，观察 m g 较小时的 a - m g 图像（图3），可以看出，当 m < < M 时，图线斜率基本不变，这与学生分组实验的结果一致。

3.2 槽码质量一定时，小车加速度与小车质量倒数的关系

为了确定槽码质量（合外力）一定时，小车加速度与小车质量是否成反比，可作出小车加速度与小车质量倒数的关系图像。

根据（3）式，当 1 / M=0 ，即小车质量 M 为无穷大时，可忽略所挂槽码质量 、纸带摩擦力 ，得a-1 / M 图像与纵轴的截距为 。当此值为正数时，说明斜面倾角 θ 过大。其物理意义是质量无穷大的小车能在斜面上做匀加速运动，即平衡摩擦力过度。当此值为负数时，说明斜面倾角 θ 偏小。图像与横坐标的截距是正数，其物理意义是只有当小车质量 M 较小时，才能被一定质量的槽码拉着保持匀速直线运动，说明平衡阻力不足或者没有平衡阻力。当此值为0时，说明斜面倾角 θ 合适，小车的重力沿斜面分量与小车所受摩擦力平衡。

当小车质量倒数1/M为无穷大时，小车质量变，这与学生分组实验的结果一致。

M 为0，代人（3）式可得 a-1 / M 图像中加速度的值 。其物理意义是当小车质量为0时，槽码自己带着纸带做匀加速运动。若能忽略纸带摩擦，则小车加速度趋近于 g 。

在槽码拉动小车的系统中，必然存在此结论：槽码质量一定时，小车质量倒数越大，系统加速度越大。

于是，我们可以推测 a - 1 / M 图像的变化趋势，是截距不一定为0、其值不断增大且趋近于 的图线。

为了能够使用Geogebra软件准确画出 a -1/M图像，根据（3）式，我们令自变量为 ，设定 ，分别画出斜面倾角 时的 a-1 / M 图像（图4）。

此图像与我们采用极限法分析的结果一致。另外，观察1/M较小即 M 较大时的 a-1 / M 图像（图5），可以看出当 m < < M 时，图线斜率基本不

4结论

通过分析小车加速度与槽码重力、小车质量倒数的一般图像，发现有许多一致性。两图都是截距为正时代表斜面倾角过大，说明平衡摩擦力过度；截距为负时代表斜面倾角过小，说明平衡摩擦力不足或者未平衡摩擦力。两图斜率都在变小并趋近于某个特定值；而且在自变量较小时都具有较好的线性。同时，若不考虑纸带摩擦，两图像的截距和极值完全一致。本文有助于加深对实验的理解，进行误差分析。

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理必修第一册[M].北京：人民教育出版社，2019：88-92.

[2]何述平.探究加速度与力和质量关系的平衡摩擦研究[J].物理教师，2016，37（2）：29-31.

（栏目编辑 刘荣）