巧用转化思想 弄清运算本质

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出：运算能力是学生学习数学必备的基本技能。在小学阶段培养学生的运算能力，是教学的重要目标之一，但数学基础知识和基本技能的形成不是一蹴而就的，是需要在学生学习的经验积累中不断加深，在结构化教学中对原有的知识进行整合重组，感悟数的运算的一致性，循序渐进地引导学生学会运算，能够准确运算，提高学生的运算能力，促进学生数学思维的发展，形成善于思考问题的品质。

一、化隐为显，呈现运算本质

在小学数学计算教学中，把抽象的数学运算与直观形象的图形联系，能让学生做到心中有“数”，见数“思”图。教学中，学生无论在学习整数加减法，还是小数、分数加减法时，教师都会引导学生去画图、实际操作探究算法、表征算理。让学生经历用直观的方式把推理过程与结果画出来的过程。

如，在教学“异分母分数加减法”一课时，有的学生在探究异分母加法的计算时就能善用、巧用几何直观，使抽象的思维方式在“直观”的数学语言中化隐为显。让学生将“通分”这隐性的抽象思维转化为显性的几何直观，将异分母分数加减法转化成同分母分数加减法（如图1）。

在计算教学中，教师常常要借助学生熟悉的图形、学具、符号等工具，通过实践操作、语言描述使得抽象的算理可视化，从而帮助学生理解算理，掌握算法，在不同的运算过程、不同的运算对象中理解算理算法，感悟运算的一致性（相同计数单位之间的累计）。让学生经历动作表征（实操）→语言表征（边摆边说）→符号表征（算式）的算理、算法内化过程，从而提升学生的思维品质。

二、化散为整，弄清运算本质

布鲁纳认为：学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构。要求教师着眼于整体，善于对学习内容进行有机整合，进行结构化重组，从而设计有效的教学过程，让学生基于运算本质的理解展开深度学习，充分感知知识与知识之间的内在联系，感悟数与运算的一致性，在发展运算能力的基础上培养数感、符号意识等数学核心素养，促进数学基础能力的形成。

如，让我们聚焦小学阶段笔算乘法的教学内容，在人教版教材的编排上它分散于三个不同的年级：

虽然在运算编排上具有较强的系统性，学段之间的内容相互关联，内容由浅入深，呈螺旋式上升，但是由于分散于不同年级，学生可能无法感知知识的内在关联，无法主动将学过的知识进行迁移，这就不利于数学思维的发展。在学生现有的知识水平上，缺乏对知识的结构化认识，学生对笔算乘法的学习是从“一层”的“多位数乘一位数笔算乘法”跨入到“二层”的“两位数乘两位数笔算乘法”与“三位数乘两位数笔算乘法”。而“二层”的笔算乘法只是数位变多，其算理和算法都是一致的。故此，教师可以尝试将这一部分的内容进行适当的整合，可尝试将“二层”的笔算乘法整合成多位数乘两位数。

教学中，教师引导学生观察、对比运算过程，体会不同算式之间的内在联系，让学生经历特殊到一般的探索过程，感悟笔算乘法的运算本质是一致的——先分后合，即都是把两位数拆成一位数和整十数，先用个位上的数去乘多位数，再用十位上的数去乘多位数，最后二者相加，从而提炼出运算法则。

通过计算内容的整合，让学生用一致性的视角去关联、迁移、应用知识，在结构化的认知中发展运算能力。为后续学习小数的乘法运算做铺垫、积累经验，提供保障。

三、化繁为简，理清运算本质

小学数学知识间是互相联系的，任何学习都是建立在已有的知识经验和认知结构的基础上进行的。把握“数的运算”内容的脉络，感悟运算方法的一致性，重要的是帮助学生体会思考问题的方法，积累解决问题的经验。在计算教学时，教师要有整体的布局，用联系的眼光看待数的运算。在教学整数运算时是为小数、分数的运算做铺垫；在教学小数运算时能联系整数运算，为分数运算迁移做准备；在教学分数运算时，要勾连整数、小数与分数的运算之间的联系，体验三者运算的一致性。

如，在教学“两位数乘两位数笔算乘法”一课时，在整数乘法算理探究中可以渗透面积模型，在教学14×12 时教师可以用点子图（如图2）作为研究载体（实际就是面积模型）。

而这个面积模型也同样能迁移应用到小数乘法和分数乘法。对比发现，三者算理探究所用的载体是一致的。用面积模型探究乘法算理，在直观化表达计数单位上很有优势，从图中很容易看出新产生的计数单位及其个数。

当学生认识到小数、分数的乘法计数都是基于整数乘法运算后，面积模型能帮助学生从感性的浅层走向理性的深层，深人运算的本质特征，这种算理探究过程中的学习经验迁移有利于学生进一步感悟运算的一致性。

总之，数的运算是理性的、抽象的、形式化的，教师要帮助学生透过具象化的运算算法、算理呈现，依托直观、整合、模型化等形式，一次次化隐为显、化散为整、化繁为简。从而窥探到运算的本质，使枯燥的运算看得见、道得明、理得清。促使学生全面经历运算过程，由表及里，深刻把握运算的内涵和本质特点，使学生的运算能力得以自然生长，数学思维逐渐走向深层。